Determine o número de pontos necessário para aproximar a função f(x)=e^3 x, no intervalo
0,0.4, com 7 casas decimais corretas, utilizando interpolação sobre pontos igualmente espaçados. Dica: Mostre que f^(k)(x)=k 3^k-1 e^3 x+3^k x e^3 x

Passo 1

Beleza, o exercício quer saber quantos pontos igualmente espaçados a gente precisa usar pra interpolar a função
f(x)=e^3x
no intervalo Rn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!,prodi=0^n(x-xi) de modo que o erro fique abaixo de f^(k)(x)=k,3^,k-1e^3x+3^k x e^3x (7 casas decimais).
Isso é um problema de interpolação de Lagrange com nós uniformes, então vamos usar o estimador de erro da forma
onde é o grau do polinômio (e o número de pontos vai ser ). Precisamos também do dado de que
para achar um que limite em .

Passo 2

Derivada de ordem f^(n+1)(x);=;(n+1),3^n e^3x+3^,n+1x,e^3x, :
M ;=;max[0,0.4]|f^(n+1)(x)| ;=;e^1.2l[(n+1)3^n+0.4cdot3^n+1r] ;=;e^1.2,3^n,(n+2.2),
No intervalo o fator é máximo em , valendo . Então

Passo 3

Para o produto maxxin[0,0.4]l|prodi=0^n(x-xi)r| ;<=;l(tfrac0.42r)^,n+1 ;=;0.2^,n+1, em nós igualmente espaçados em |Rn(x)|<= M(n+1)!;0.2^,n+1 =e^1.2,3^n,(n+2.2)(n+1)!;0.2^,n+1, (com passo |Rn(x)|<= 0.2,e^1.2,(0.6)^n,(n+2.2)(n+1)!, ), usamos o limite bruto
Assim o erro satisfaz
Reescrevendo e puxando fora um :

Passo 4

Agora a gente faz tentativas de 0.2,e^1.2,(0.6)^n,(n+2.2)(n+1)!;<;5times10^-8, até
Testando um por um (com cálculo rápido):
  • dá cerca de (ainda é grande).
  • .
  • , finalmente abaixo de .

Resposta

São necessários pontos igualmente espaçados.

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