Determine o número de pontos necessário para aproximar a função , no intervalo
, com 7 casas decimais corretas, utilizando interpolação sobre pontos igualmente espaçados. Dica: Mostre que
Passo 1
Beleza, o exercício quer saber quantos pontos igualmente espaçados a gente precisa usar pra interpolar a função
no intervalo de modo que o erro fique abaixo de (7 casas decimais).
Isso é um problema de interpolação de Lagrange com nós uniformes, então vamos usar o estimador de erro da forma
onde é o grau do polinômio (e o número de pontos vai ser ). Precisamos também do dado de que
para achar um que limite em .
Passo 2
Derivada de ordem f^(n+1)(x);=;(n+1),3^n e^3x+3^,n+1x,e^3x, :
M ;=;max[0,0.4]|f^(n+1)(x)| ;=;e^1.2l[(n+1)3^n+0.4cdot3^n+1r] ;=;e^1.2,3^n,(n+2.2),
No intervalo o fator é máximo em , valendo . Então
Passo 3
Para o produto maxxin[0,0.4]l|prodi=0^n(x-xi)r| ;<=;l(tfrac0.42r)^,n+1 ;=;0.2^,n+1, em nós igualmente espaçados em |Rn(x)|<= M(n+1)!;0.2^,n+1 =e^1.2,3^n,(n+2.2)(n+1)!;0.2^,n+1, (com passo |Rn(x)|<= 0.2,e^1.2,(0.6)^n,(n+2.2)(n+1)!, ), usamos o limite bruto
Assim o erro satisfaz
Reescrevendo e puxando fora um :
Passo 4
Agora a gente faz tentativas de 0.2,e^1.2,(0.6)^n,(n+2.2)(n+1)!;<;5times10^-8, até