Dada a mesma tabela do exercício anterior, suponha que queremos aproximar estes dados pela função
.
Linearize a função
e determine um método para encontrar
e
. [Dica: aplique
em ambos os lados da equação e use as propriedades de
].
Linearize a função
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra gente ajustar um conjunto de pontos (a tal “mesma tabela” do exercício anterior) a uma função do tipo
O conteúdo é regressão pelo método dos mínimos quadrados, mas antes a gente vai “linearizar” a função usando logaritmo. Para isso, precisamos:
- Entender como tirar log de
e usar propriedades de . - Transformar nosso problema num ajuste de reta
. - Aplicar a fórmula de mínimos quadrados nessa reta para achar
e . - Voltar das variáveis logaritmadas para
e .
Passo 2
Primeiro, fazermos a transformação básica. Se
a gente aplica
dos dois lados:
Usando
e
, dá:
Agora define
O problema virou ajustar uma reta
Passo 3
Pra ajustar reta por mínimos quadrados, a gente minimiza
.
Das condições de otimalidade (derivadas parciais zero) saem as fórmulas padrão:
Das condições de otimalidade (derivadas parciais zero) saem as fórmulas padrão:
onde
e
.
Passo 4
Só traduzir de volta pra
e
:
Passo 5
Recapitulando as fórmulas finais em função dos dados originais
:
- Calcule
e . - Compute
- Monte
Resposta
A partir da linearização
e usando mínimos quadrados, obtemos: