Dada a mesma tabela do exercício anterior, suponha que queremos aproximar estes dados pela função g(x)=alpha x^beta.
Linearize a função g e determine um método para encontrar alpha e beta. [Dica: aplique ln em ambos os lados da equação e use as propriedades de ln ].

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra gente ajustar um conjunto de pontos (a tal “mesma tabela” do exercício anterior) a uma função do tipo
g(x) = alpha,x^beta,
O conteúdo é regressão pelo método dos mínimos quadrados, mas antes a gente vai “linearizar” a função usando logaritmo. Para isso, precisamos:
  1. Entender como tirar log de e usar propriedades de .
  2. Transformar nosso problema num ajuste de reta .
  3. Aplicar a fórmula de mínimos quadrados nessa reta para achar e .
  4. Voltar das variáveis logaritmadas para e .

Passo 2

Primeiro, fazermos a transformação básica. Se
g(xi)=alpha,xi^beta,
a gente aplica ln g(xi) = lnl(alpha,xi^betar) dos dois lados:
ln g(xi) = lnalpha + beta,ln xi
Usando Yi = ln g(xi), Xi = ln xi, A = lnalpha, B = beta e Yi approx A + B,Xi , dá:
Agora define
O problema virou ajustar uma reta

Passo 3

Pra ajustar reta por mínimos quadrados, a gente minimiza
B = nsum XiYi - l(sum Xir)l(sum Yir)nsum Xi^2 - l(sum Xir)^2, A = bar Y - B,bar X, .
Das condições de otimalidade (derivadas parciais zero) saem as fórmulas padrão:
onde
e .

Passo 4

Só traduzir de volta pra beta = B, lnalpha = A Longrightarrow alpha = e^A e :

Passo 5

Recapitulando as fórmulas finais em função dos dados originais beta = n,SXY-SX,SYn,SXX-SX^2, lnalpha = SY - beta,SXn, alpha = e^,lnalpha :
  1. Calcule e .
  2. Compute

  3. Monte

Resposta

A partir da linearização boxed beta = nsumi=1^n(ln xi)(ln gi) - l(sumi=1^nln xir)l(sumi=1^nln gir) ,nsumi=1^n(ln xi)^2 - l(sumi=1^nln xir)^2,, alpha = exp!l(sumi=1^nln gi - beta,sumi=1^nln xinr) e usando mínimos quadrados, obtemos:

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