Determine o sistema linear que determina o polinômio de grau 3 p(x)=a x^3+b x^2+c x+d que aproxima um conjunto de dados (xi, yi)
para i variando de 1 até n. Ou seja, determine a, b, c e d que minimiza a função
S(a, b, c, d)=sumi=1^n ei^2=sumi=1^n[yi-(a xi^3+b xi^2+c xi+d)]^2

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um clássico de ajuste por mínimos quadrados: queremos achar um polinômio de grau 3
p(x)=a,x^3+b,x^2+c,x+d
que “chegue mais perto” de um monte de pontos S(a,b,c,d)=sumi=1^nl[yi - p(xi)r]^2, . O que vai rolar é a gente montar um sistema linear (as tais “equações normais”) pra encontrar os coeficientes que minimizam
O conteúdo aqui é a parte de mínimos quadrados e equações normais, e pra resolver a gente vai precisar usar derivadas parciais e somatórios.

Passo 2

Pra achar o mínimo de a gente impõe que todas as derivadas parciais sejam zero:

Isso garante que a gente esteja num ponto crítico (que, no caso mínimo quadrado bem comportado, é o mínimo global).

Passo 3

Vamos calcular, por exemplo, S=sumi=1^nl[yi - (a xi^3+b xi^2+c xi+d)r]^2,.
Escrevendo
partial Spartial a =2sumi=1^nl[yi - p(xi)r]cdotl(-xi^3r) =-2sumi=1^n xi^3,[yi - (a xi^3+b xi^2+c xi+d)]
a derivada é
sumi=1^n xi^3,yi =sumi=1^n xi^3l(a xi^3 + b xi^2 + c xi + dr) =asum xi^6 + bsum xi^5 + csum xi^4 + dsum xi^3
Igualando a zero:

Passo 4

Repetindo o processo pras derivadas em sumi=1^n xi^2,yi =asum xi^5 + bsum xi^4 + csum xi^3 + dsum xi^2 , a gente obtém as outras três equações:
  1. sumi=1^n xi,yi =asum xi^4 + bsum xi^3 + csum xi^2 + dsum xi
sumi=1^n yi =asum xi^3 + bsum xi^2 + csum xi + d,n

Passo 5

Então, juntando tudo, o sistema linear nas incógnitas asum xi^6 ;+; bsum xi^5 ;+; csum xi^4 ;+; dsum xi^3 ;=;sum xi^3yi,[6pt] asum xi^5 ;+; bsum xi^4 ;+; csum xi^3 ;+; dsum xi^2 ;=;sum xi^2yi,[6pt] asum xi^4 ;+; bsum xi^3 ;+; csum xi^2 ;+; dsum xi ;=;sum xi yi,[6pt] asum xi^3 ;+; bsum xi^2 ;+; csum xi ;+; d,n ;=;sum yi fica:

Resposta

O sistema linear que define é exatamente as quatro equações acima, conhecidas como equações normais para o ajuste por mínimos quadrados de um polinômio de grau 3.

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