Determine o sistema linear que determina o polinômio de grau 3 que aproxima um conjunto de dados
para variando de 1 até . Ou seja, determine e que minimiza a função
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um clássico de ajuste por mínimos quadrados: queremos achar um polinômio de grau 3
que “chegue mais perto” de um monte de pontos , . O que vai rolar é a gente montar um sistema linear (as tais “equações normais”) pra encontrar os coeficientes que minimizam
O conteúdo aqui é a parte de mínimos quadrados e equações normais, e pra resolver a gente vai precisar usar derivadas parciais e somatórios.
Passo 2
Pra achar o mínimo de a gente impõe que todas as derivadas parciais sejam zero:
Isso garante que a gente esteja num ponto crítico (que, no caso mínimo quadrado bem comportado, é o mínimo global).
Passo 3
Vamos calcular, por exemplo, .
Escrevendo
a derivada é
Igualando a zero:
Passo 4
Repetindo o processo pras derivadas em , a gente obtém as outras três equações:
dá
dá
dá
Passo 5
Então, juntando tudo, o sistema linear nas incógnitas fica:
Resposta
O sistema linear que define é exatamente as quatro equações acima, conhecidas como equações normais para o ajuste por mínimos quadrados de um polinômio de grau 3.