É dada a seguinte equaçăo de
grau:
Utilize as duas versőes da fórmula para obtenção das raizes de um polinômio quadrático, usando cinco algarismos significativos e truncamento. Comente/justifique os resultados obtidos (dica: siga rigorosamente a ordem de execuçảo das operaçőes e a restrição de 5 algarismos significativos e truncamento em todas as operações).
a)
b)
Obs.:
interpretação do que foi pedido: 0,5
aplicação correta das restrições: 1,0
contas corretas: 0,5
comentário final: 1,0 .
a)
b)
Obs.:
interpretação do que foi pedido: 0,5
aplicação correta das restrições: 1,0
contas corretas: 0,5
comentário final: 1,0 .
Passo 1
Beleza, o exercício dá a equação
É um polinômio de 2º grau (matéria: fórmula de Bhaskara). A gente vai usar duas maneiras de achar as raízes:
a)
b)
Mas tem um detalhe: em cada operação devemos manter apenas 5 algarismos significativos e truncar (não arredondar). Vou explicar o que é cada coisa, mostrar passo a passo e comentar o que acontece com os erros numéricos.
a)
b)
Mas tem um detalhe: em cada operação devemos manter apenas 5 algarismos significativos e truncar (não arredondar). Vou explicar o que é cada coisa, mostrar passo a passo e comentar o que acontece com os erros numéricos.
Passo 2
Calculando o discriminante
.
Aqui .
Aqui
-
.
Truncando a 5 algarismos significativos: -
(já tem só dois algarismos, consideramos “40,000” se quisermos 5 sigs). - Agora
.
Truncando a 5 sigs:
Passo 3
Tirando a raiz quadrada de
:
(numa conta aproximada e depois truncada a 5 sigs, porque 4999{,}900… daria 4.9999×10³).
Passo 4
Agora a fórmula (a), direta:
• Primeiro calculemos .
• Raiz .
• Primeiro calculemos
• Raiz
- Raiz maior
:
- Truncando a soma a 5 sigs:
. - Dividindo:
, truncando a 5 sigs dá 4999,9.
- Raiz menor
:
- Truncando
a 5 sigs (é 3 sigs, mas “0,10200”), continua 0,10200. - Dividindo:
, trunca a 5 sigs = 0,05100.
Passo 5
Agora a fórmula (b), alternativa:
- Usando “−” embaixo (para pegar a raiz pequena sem cancelamento grande):
- Truncando denom.:
. - Dividindo:
, truncando a 5 sigs = 0,002000.
- Usando “+” embaixo (fica péssimo para raiz grande):
- Truncando denom.:
já está em 3 sigs, reescrevemos “-0,10200”. - Dividindo:
, truncando a 5 sigs = 196,07.
Passo 6
Comentário rápido sobre os resultados:
- A fórmula direta (a) deu razoável pra raiz grande (4999,9 vs ~5000) mas péssima pra raiz pequena (0,051 em vez de ~0,002).
- A fórmula alternativa (b) acertou bem a raiz pequena (0,002000) mas errou muito a grande (196,07).
Isso é o tal “erro de cancelamento”: quando subtraímos números quase iguais (no direto) a diferença fica mal condicionada. Por isso a versão (b) é indicada exatamente para evitar esse cancelamento ao achar a raiz menor.
Resposta
a) Usando
:
b) Usando
: