É dada a seguinte equaçăo de 2^circ grau:
x^2-5000,002 x+10=0
Utilize as duas versőes da fórmula para obtenção das raizes de um polinômio quadrático, usando cinco algarismos significativos e truncamento. Comente/justifique os resultados obtidos (dica: siga rigorosamente a ordem de execuçảo das operaçőes e a restrição de 5 algarismos significativos e truncamento em todas as operações).
a) x=-b pm raizb^2-4 a c2 a
b) x=-2 cb pm raizb^2-4 a c
Obs.:
interpretação do que foi pedido: 0,5
aplicação correta das restrições: 1,0
contas corretas: 0,5
comentário final: 1,0 .

Passo 1

Beleza, o exercício dá a equação
x^2 - 5000,002,x + 10 = 0
É um polinômio de 2º grau (matéria: fórmula de Bhaskara). A gente vai usar duas maneiras de achar as raízes:
a)
b)
Mas tem um detalhe: em cada operação devemos manter apenas 5 algarismos significativos e truncar (não arredondar). Vou explicar o que é cada coisa, mostrar passo a passo e comentar o que acontece com os erros numéricos.

Passo 2

Calculando o discriminante b^2 approx 2,5000times 10^7 = 25,000,000 .
Aqui D approx 2,4999times 10^7 = 24,999,000 .
  1. .
    Truncando a 5 algarismos significativos:
  2. (já tem só dois algarismos, consideramos “40,000” se quisermos 5 sigs).
  3. Agora .
    Truncando a 5 sigs:

Passo 3

Tirando a raiz quadrada de raiz24,999,000approx 4999,9 :
(numa conta aproximada e depois truncada a 5 sigs, porque 4999{,}900… daria 4.9999×10³).

Passo 4

Agora a fórmula (a), direta:
• Primeiro calculemos x1 = -b + raizD2a = 5000,002 + 4999,92 = 9999,9022 .
• Raiz x2 = -b - raizD2 = 5000,002 - 4999,92 = 0,1022 .
  1. Raiz maior :
  • Truncando a soma a 5 sigs: .
  • Dividindo: , truncando a 5 sigs dá 4999,9.
  1. Raiz menor :
  • Truncando a 5 sigs (é 3 sigs, mas “0,10200”), continua 0,10200.
  • Dividindo: , trunca a 5 sigs = 0,05100.

Passo 5

Agora a fórmula (b), alternativa:
x = -2c,b pm raizD,
  1. Usando “−” embaixo (para pegar a raiz pequena sem cancelamento grande):
x'2 = -2cdot10-5000,002 - 4999,9 = -20-9999,902
  • Truncando denom.: x'1 = -20-5000,002 + 4999,9 = -20-0,102 .
  • Dividindo: , truncando a 5 sigs = 0,002000.
  1. Usando “+” embaixo (fica péssimo para raiz grande):
  • Truncando denom.: já está em 3 sigs, reescrevemos “-0,10200”.
  • Dividindo: , truncando a 5 sigs = 196,07.

Passo 6

Comentário rápido sobre os resultados:
  • A fórmula direta (a) deu razoável pra raiz grande (4999,9 vs ~5000) mas péssima pra raiz pequena (0,051 em vez de ~0,002).
  • A fórmula alternativa (b) acertou bem a raiz pequena (0,002000) mas errou muito a grande (196,07).
    Isso é o tal “erro de cancelamento”: quando subtraímos números quase iguais (no direto) a diferença fica mal condicionada. Por isso a versão (b) é indicada exatamente para evitar esse cancelamento ao achar a raiz menor.

Resposta

a) Usando x1 approx 4999,9, x2 approx 0,05100 :
x1 approx 196,07, x2 approx 0,002000
b) Usando :

Exercícios relacionados