É dada a seguinte equação:
e^0,5 x=5-5 x
Utilize o método de Newton-Raphson para resolver a equação dada. Inicie utilizando valor inicial x=6 e interrompa o processo íterativo quando o erro for menor que 10^-2. Utilize a métrica de erro como sendo erro = |f(xk+1)|.

Passo 1

Beleza, temos que resolver a equação
e^0,5x = 5 - 5x
usando o método de Newton–Raphson. Então:
• Conteúdo da matéria: método de Newton para achar raízes de funções.
• O que vamos precisar:
  1. Definir a função xk+1 = xk - f(xk)f'(xk) cuja raiz a gente quer achar.
  2. Calcular sua derivada .
  3. Aplicar a fórmula de Newton
  4. Iterar até que o erro fique menor que .
    • Valor inicial: .

Passo 2

Primeiro, montamos nossa função
f(x) = e^0,5x - 5 + 5x
Porque igualando isso a zero ficamos justamente com
f'(x) = ddxl(e^0,5xr) + ddx(5x) - 0 = 0,5,e^0,5x + 5 .
Agora a derivada:
Pronto! Agora é só aplicar Newton:

Passo 3

Iteração 1 (usando f(6) = e^0,5cdot6 - 5 + 5cdot6 = e^3 - 5 + 30 approx 20,0855 - 5 + 30 = 45,0855 ):
  1. Calcular f'(6) = 0,5,e^3 + 5 approx 0,5cdot20,0855 + 5 = 15,0428
  2. Derivada em 6: x1 = 6 - 45,085515,0428 approx 3,0034
  3. Novo :

Passo 4

Iteração 2 (usando f(3,0034) = e^0,5cdot3,0034 - 5 + 5cdot3,0034 approx 4,4920 - 5 + 15,017 = 14,509 ):
1)
f'(3,0034) = 0,5cdot4,4920 + 5 = 7,2460
  1. x2 = 3,0034 - 14,5097,2460 approx 1,0014

Passo 5

Iteração 3 (usando f(1,0014) = e^0,5cdot1,0014 - 5 + 5cdot1,0014 approx 1,6494 - 5 + 5,007 = 1,6564 ):
1)
f'(1,0014) = 0,5cdot1,6494 + 5 = 5,8247
  1. x3 = 1,0014 - 1,65645,8247 approx 0,7169
  2. Checamos o erro: , ainda maior que , então continuamos.

Passo 6

Iteração 4 (usando f(0,7169) = e^0,5cdot0,7169 - 5 + 5cdot0,7169 approx 1,4311 - 5 + 3,5845 = 0,0156 ):
1)
f'(0,7169) = 0,5cdot1,4311 + 5 = 5,7156
  1. x4 = 0,7169 - 0,01565,7156 approx 0,7142
  2. Agora o erro é . Paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada da equação, com erro menor que boxedx approx 0,7142 , é

Exercícios relacionados