Dada o seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}=3 y^{\prime}-2 y \\\ y(0)=-1 \\\ y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
  • Resolva o PVI usando o método de Euler.

Passo 1

O enunciado é um problema de valores iniciais (PVI) dado por
\begin{cases} y'' = 3\,y' - 2\,y,\\\ y(0) = -1,\\\ y'(0)=0, \end{cases}
e pede a aplicação do método de Euler (explícito) para aproximar a solução. Vamos tratar essa EDO de segunda ordem como um sistema de equações de primeira ordem e então escrever as fórmulas iterativas de Euler.

Passo 2

Introduzimos as variáveis de estado
y_{1}(t)=y(t), \quad y_{2}(t)=y'(t).
Então o PVI original fica equivalente ao sistema
\begin{cases} y_{1}' = y_{2},\\\ y_{2}' = 3\,y_{2} - 2\,y_{1}, \end{cases}
com condições iniciais
y_{1}(0)=-1, \quad y_{2}(0)=0.

Passo 3

O método de Euler explícito, com passo \displaystyle h, aproxima a solução no ponto t_{n+1}=t_{n}+h por
y_{1,n+1} = y_{1,n} + h\,f_{1}\bigl(t_{n},y_{1,n},y_{2,n}\bigr), \quad y_{2,n+1} = y_{2,n} + h\,f_{2}\bigl(t_{n},y_{1,n},y_{2,n}\bigr),
onde
f_{1}(t,y_{1},y_{2}) = y_{2}, \quad f_{2}(t,y_{1},y_{2}) = 3\,y_{2} - 2\,y_{1}.

Passo 4

Substituindo as funções f_{1}\) e \(f_{2}\) vemos que o esquema iterativo de Euler é \[\begin{cases} y_{1,n+1} = y_{1,n} + h\,y_{2,n},\\\ y_{2,n+1} = y_{2,n} + h\bigl(3\,y_{2,n} - 2\,y_{1,n}\bigr), \end{cases}
com
y_{1,0} = -1, \quad y_{2,0} = 0.
A cada iteração n\to n+1\] usamos essas fórmulas para aproximar \(y(t_{n+1})\approx y_{1,n+1} e y'(t_{n+1})\approx y_{2,n+1}.

Resposta

O método de Euler explícito aplicado ao PVI gera o esquema
\boxed{ \begin{cases} y_{1,n+1} = y_{1,n} + h\,y_{2,n},\\\ y_{2,n+1} = y_{2,n} + h\bigl(3\,y_{2,n} - 2\,y_{1,n}\bigr), \end{cases} \quad y_{1,0} = -1,\;y_{2,0}=0. }

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