Resolva numericamente o problema de valor inicial (PVI):
\frac{d y}{d x}=x+y, \quad y(0)=1
no intervalo [0 ; 0,4] com passo h=0,2, utilizando o método de Euler. Monte a tabela dos valores aproximados de y(x) em cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=x+y,\quad y(0)=1
no intervalo [0,0,4] com passo h=0,2 usando o método de Euler. Vamos aplicar a fórmula recursiva do método de Euler para obter aproximações de y(x).

Passo 2

A fórmula do método de Euler é
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n),
com x_{n+1}=x_n + h e f(x,y)=x+y.

Passo 3

Para n=0:
x_0=0,\quad y_0=1,
y_1 = y_0 + h\bigl(x_0+y_0\bigr) =1 + 0,2\,(0+1) =1 + 0,2 =1,2,
x_1 = x_0 + h = 0 + 0,2 = 0,2.

Passo 4

Para n=1:
x_1=0,2,\quad y_1=1,2,
y_2 = y_1 + h\bigl(x_1+y_1\bigr) =1,2 + 0,2\,(0,2+1,2) =1,2 + 0,2\cdot1,4 =1,2 + 0,28 =1,48,
x_2 = x_1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4.

Resposta

x_0=0,\;y_0=1 x_1=0,2,\;y_1=1,2 x_2=0,4,\;y_2=1,48

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