Considere a função f(x)=e^{x} \sin x no intervalo [0,1]. Divida o intervalo em n=4 subintervalos igualmente espaçados.
(a) Aproxime a integral I=\int_{0}^{1} e^{x} \sin x d x pelo método dos trapézios compostos.
(b) Aproxime a integral I pelo método de Simpson 1/3 composto.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar a integral
I = \int_{0}^{1} e^{x}\sin x \,dx
usando duas fórmulas de quadratura composto em n=4 subintervalos igualmente espaçados. O conteúdo é métodos numéricos de integração (Newton–Cotes), e vamos precisar das fórmulas do trapézio composto e de Simpson 1/3 composto.

Passo 2

Dividimos [0,1] em n=4 subintervalos de comprimento
h = \frac{1-0}{4} = 0,25.
Os nós são
x_i = 0 + i\,h,\quad i=0,1,2,3,4,
isto é x_0=0, x_1=0,25, x_2=0,5, x_3=0,75, x_4=1. Calculamos
f(x_i) = e^{x_i}\sin(x_i):
\begin{aligned} f(x_0)&=e^{0}\sin(0)=0,\\\ f(x_1)&\approx e^{0,25}\sin(0,25)\approx0,3177,\\\ f(x_2)&\approx e^{0,5}\sin(0,5)\approx0,7904,\\\ f(x_3)&\approx e^{0,75}\sin(0,75)\approx1,4430,\\\ f(x_4)&\approx e^{1}\sin(1)\approx2,2874. \end{aligned}

Passo 3

Trapézio composto:
I_{\text{trap}} =\frac{h}{2}\Bigl[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{3}f(x_i)+f(x_4)\Bigr].
Substituindo h=0,25 e os valores de f(x_i):
I_{\text{trap}} = \frac{0,25}{2}\Bigl[0+2(0,3177+0,7904+1,4430)+2,2874\Bigr] =0,125\,(7,3895) \approx0,9237.

Passo 4

Simpson 1/3 composto:
I_{\text{S}} =\frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4\sum_{\substack{i=1\\text{\(i\) ímpar}}}^{3}f(x_i) +2\sum_{\substack{i=2\\\text{\(i\) par}}}^{2}f(x_i)+f(x_4)\Bigr].
Substituindo os valores:
I_{\text{S}} =\frac{0,25}{3}\Bigl[0+4(0,3177+1,4430)+2(0,7904)+2,2874\Bigr] =0,08333\,(10,9109) \approx0,9093.

Resposta

(a) Pelo método dos trapézios compostos: I\approx0,9237.
(b) Pelo método de Simpson 1/3 composto: I\approx0,9093.

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