Represente graficamente os sistemas não lineares abaixo e utilize o método de Newton para estimar uma solução aproximada, com precisão de 10^-2 partindo do ponto indicado.
l10(x2-x1^2)=0 1-x1=0, X^(0)=(-1.2 ; 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente representar graficamente um sistema de duas equações não lineares e depois usar o Método de Newton para encontrar uma solução aproximada com precisão de 10^-2, começando do ponto (-1.2, 1). Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar essas equações no gráfico e como aplicar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações do sistema:
10(x2 - x1^2) = 0 1 - x1 = 0
Vamos simplificar um pouco:
  1. A primeira equação pode ser reescrita como x2 = x1^2, que representa uma parábola.
  2. A segunda equação é x1 = 1, que é uma linha vertical passando por x1 = 1.
Graficamente, a interseção dessas duas curvas nos dará a solução do sistema.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método de Newton para sistemas. Esse método usa aproximações iniciais para encontrar as raízes das equações. A ideia é melhorar nossa estimativa passo a passo até chegar perto do valor verdadeiro com a precisão desejada.
Primeiro, precisamos calcular a Jacobiana do sistema, que é uma matriz das derivadas parciais das funções em relação às variáveis.
Nossa função vetorial F é:
F(x) = 10(x2 - x1^2) 1 - x1
A Jacobiana J é:
J(x) = partial F1partial x1 & partial F1partial x2 partial F2partial x1 & partial F2partial x2 = -20x1 & 10 -1 & 0

Passo 4

Vamos iniciar com o ponto dado X^(0) = (-1.2, 1).
Primeiro, calculamos F(X^(0)):
F(X^(0)) = 10(1 - (-1.2)^2) 1 - (-1.2) = 10(1 - 1.44) 2.2 = -4.4 2.2
Em seguida, calculamos a Jacobiana no ponto X^(0):
J(X^(0)) = -20(-1.2) & 10 -1 & 0 = 24 & 10 -1 & 0

Passo 5

Agora, resolvemos o sistema linear J(X^(0)) cdot De para encontrar De:

$$
24 & 10 -1 & 0 De
-De

24 cdot 2.2 + 10 cdot De
$$
Resolvendo esse sistema, encontramos:
  1. Da segunda equação:
  2. Da primeira equação:

Passo 6

Atualizamos nosso ponto:
X^(1) = X^(0) + De

Passo 7

Verificamos a precisão da solução. Calculamos F(X^(1)):
F(X^(1)) = 10(-3.84 - (1.0)^2) 1 - 1.0 = 10(-3.84 -1) 0 = -48.4 0
Como ainda não alcançamos a precisão desejada ( 10^-2), precisamos continuar o método.

Passo 8

Calculamos a Jacobiana em X^(1) = (1.0, -3.84):
J(X^(1)) = -20(1.0) & 10 -1 & 0 = -20 & 10 -1 & 0
Resolvemos J(X^(1)) cdot De:

$$
-20 & 10 -1 & 0 De
-De

-20 cdot 0 + 10 De
$$
Resolvendo:
  1. Da segunda equação:
  2. Da primeira equação:

Passo 9

Atualizamos novamente:
X^(2) = X^(1) + De

Passo 10

Verificamos F(X^(2)):
F(X^(2)) = 10(1.0 - (1.0)^2) 1 - 1.0 = 0 0
A função resultou em zero, o que significa que encontramos a solução exata!

Resposta

A solução aproximada do sistema é X = (1.0, 1.0) com a precisão de 10^-2.

Exercícios relacionados