Represente graficamente os sistemas não lineares abaixo e utilize o método de Newton para estimar uma solução aproximada, com precisão de
partindo do ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente representar graficamente um sistema de duas equações não lineares e depois usar o Método de Newton para encontrar uma solução aproximada com precisão de
, começando do ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar essas equações no gráfico e como aplicar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações do sistema:
Vamos simplificar um pouco:
- A primeira equação pode ser reescrita como
, que representa uma parábola. - A segunda equação é
, que é uma linha vertical passando por .
Graficamente, a interseção dessas duas curvas nos dará a solução do sistema.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método de Newton para sistemas. Esse método usa aproximações iniciais para encontrar as raízes das equações. A ideia é melhorar nossa estimativa passo a passo até chegar perto do valor verdadeiro com a precisão desejada.
Primeiro, precisamos calcular a Jacobiana do sistema, que é uma matriz das derivadas parciais das funções em relação às variáveis.
Nossa função vetorial
é:
A Jacobiana
é:
Passo 4
Vamos iniciar com o ponto dado
.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos a Jacobiana no ponto
:
Passo 5
Agora, resolvemos o sistema linear
para encontrar
:
$$
$$
Resolvendo esse sistema, encontramos:
- Da segunda equação:
- Da primeira equação:
Passo 6
Atualizamos nosso ponto:
Passo 7
Verificamos a precisão da solução. Calculamos
:
Como ainda não alcançamos a precisão desejada (
), precisamos continuar o método.
Passo 8
Calculamos a Jacobiana em
:
Resolvemos
:
$$
$$
Resolvendo:
- Da segunda equação:
- Da primeira equação:
Passo 9
Atualizamos novamente:
Passo 10
Verificamos
:
A função resultou em zero, o que significa que encontramos a solução exata!
Resposta
A solução aproximada do sistema é
com a precisão de
.