Dada a tabela:
xi 5,9 6,0 6,1 6,2
yi 34,8 36,0 37,2 38,4
Calcule p(6,09), e estime o erro.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem quatro pontos
.
O conteúdo aqui é interpolação polinomial (mais especificamente Newton ou Lagrange) e cálculo de diferenças finitas para estimar o erro.
Para resolver, vamos precisar:
  1. Montar as diferenças finitas e perceber o grau do polinômio.
  2. Usar a forma de Newton (ou Lagrange) para achar .
  3. Estimar o erro via as diferenças de ordem superior.

Passo 2

Primeiro vamos construir a tabela de diferenças finitas (passo a passo, explicando tudo):
Dados:



Diferenças de 1ª ordem:


Diferenças de 2ª ordem:

Percebemos que . Isso significa que o polinômio é de grau no máximo 1 (uma reta).

Passo 3

Como é reta, podemos usar a forma simples de Newton (ou até descobrir que 34,8 = 12cdot 5,9 + b ;;Longrightarrow;; b = 34,8 - 70,8 = -36):
Coeficiente principal (a) = p(x) = 12,x - 36 .
Intercepto (b): usando p(6,09) = 12cdot 6,09 - 36 = 73,08 - 36 = 37,08 ,
Então o polinômio é
Agora plugamos :

Passo 4

Estimando o erro:
  • A ordem do polinômio de interpolação é 1 (reta).
  • O termo de erro na interpolação de grau 1 envolve , mas vimos que .
    Logo não há curvatura não prevista e o erro teórico é zero.

Resposta

com erro estimado igual a .

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