Dada a tabela:
xi 5,9 6,0 6,1 6,2
yi 34,8 36,0 37,2 38,4
Determine o polinômio interpolador que passa pelos quatro pontos dados pelo método de Lagrange.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o polinômio interpolador que passa pelos quatro pontos
(x₀,y₀)=(5.9, 34.8), (6.0, 36.0), (6.1, 37.2) e (6.2, 38.4)
usando o método de Lagrange.
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Lagrange.
O que vamos precisar:
  • A fórmula do polinômio de Lagrange
  • Calcular os “polinômios‐base”
  • Somar tudo ponderado pelos valores

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral de Lagrange para P(x);=;sumi=0^n yi,Li(x), Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^nx - xjxi - xj pontos:
Aqui temos , ou seja, quatro pontos .

Passo 3

Calcular cada L0(x) =(x-6.0)(x-6.1)(x-6.2) (5.9-6.0)(5.9-6.1)(5.9-6.2) =(x-6.0)(x-6.1)(x-6.2)(-0.1)(-0.2)(-0.3) =(x-6.0)(x-6.1)(x-6.2)-0.006 :
  1. Para L1(x) =(x-5.9)(x-6.1)(x-6.2) (6.0-5.9)(6.0-6.1)(6.0-6.2) =(x-5.9)(x-6.1)(x-6.2)(0.1)(-0.1)(-0.2) =(x-5.9)(x-6.1)(x-6.2)0.002 ( L2(x) =(x-5.9)(x-6.0)(x-6.2) (6.1-5.9)(6.1-6.0)(6.1-6.2) =(x-5.9)(x-6.0)(x-6.2)(0.2)(0.1)(-0.1) =(x-5.9)(x-6.0)(x-6.2)-0.002 ):
L3(x) =(x-5.9)(x-6.0)(x-6.1) (6.2-5.9)(6.2-6.0)(6.2-6.1) =(x-5.9)(x-6.0)(x-6.1)(0.3)(0.2)(0.1) =(x-5.9)(x-6.0)(x-6.1)0.006
  1. Para ( ):
  1. Para ( ):
  1. Para ( ):

Passo 4

Agora montamos o polinômio interpolador:
P(x) =34.8,L0(x) +36.0,L1(x) +37.2,L2(x) +38.4,L3(x)

Passo 5

Se você expandir e somar tudo, vai ver que os termos de grau 3 e 2 se cancelam, sobrando só um polinômio de grau 1.
Outra forma de sacar isso rapidinho: note que, a cada aumento de P(x)=m,x + b com m=12 em 0.1, 36.0 = 12cdot6.0 + b ;Longrightarrow; b = 36.0 - 72.0 = -36 aumenta sempre 1.2, logo a taxa de variação é constante → pontos colineares.
Isso quer dizer que o interpolador é uma reta:
Para achar , use um ponto, por exemplo :

Resposta

boxedP(x) = 12x - 36

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