Encontre a aproximação polinomial por mínimos quadrados linear e quadrática para f(x) nos intervalos indicados se:
f(x)=1x, se x in[0,1].

Passo 1

O exercício pede para a gente achar, em linguagem de mínimos quadrados (isto é, projetar em L²[0,1]), um polinômio de grau 1 (linear) e um de grau 2 (quadrático) que “chegue o mais perto possível” de no intervalo .
Conteúdo da matéria:aproximação em mínimos quadrados em espaços de funções, produto interno
O que vamos precisar:
  • Definir produto interno .
  • Montar as equações de normal (Σ de projeção) para encontrar os coeficientes do polinômio.
  • Calcular as integrais envolvidas.

Passo 2

Para o caso linear, a gente procura
p1(x)=a0 + a1 x
que minimize
|f-p1|^2=integral0^1l(tfrac1x - (a0+a1x)r)^2dx
As equações de normal vêm de exigir que os resíduos sejam ortogonais às bases e , ou seja:

Passo 3

Escrevendo essas condições:
Agora os integrandos são básicos:
  • Mas diverge (é um logaritmo que vai a quando x→0).

Passo 4

Perceba que a integral não existe (fica infinita). Isso significa que as equações de normal para o polinômio linear envolvem um termo “infinito” e não têm como ser resolvidas num espaço L² normal. Ou seja, não conseguimos projetar em L²[0,1] usando polinômios regulares, porque não é quadrado-integrável em torno de zero.
O mesmo problema acontece se você tentar montar o caso quadrático: toda vez que surgir , você vai encontrar divergência.

Resposta

Não existe aproximação polinomial de mínimos quadrados (nem linear, nem quadrática) de em L² sobre porque a integral diverge, impedindo a formação das equações de normal.

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