Encontre a aproximação polinomial por mínimos quadrados linear e quadrática para
nos intervalos indicados se:
, se
.
Passo 1
O exercício pede para a gente achar, em linguagem de mínimos quadrados (isto é, projetar em L²[0,1]), um polinômio de grau 1 (linear) e um de grau 2 (quadrático) que “chegue o mais perto possível” de
no intervalo
.
Conteúdo da matéria:aproximação em mínimos quadrados em espaços de funções, produto interno
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria:aproximação em mínimos quadrados em espaços de funções, produto interno
O que vamos precisar:
- Definir produto interno
. - Montar as equações de normal (Σ de projeção) para encontrar os coeficientes do polinômio.
- Calcular as integrais envolvidas.
Passo 2
Para o caso linear, a gente procura
que minimize
As equações de normal vêm de exigir que os resíduos sejam ortogonais às bases
e
, ou seja:
Passo 3
Escrevendo essas condições:
Agora os integrandos são básicos:
-
-
-
-
- Mas
diverge (é um logaritmo que vai a quando x→0).
Passo 4
Perceba que a integral
não existe (fica infinita). Isso significa que as equações de normal para o polinômio linear envolvem um termo “infinito” e não têm como ser resolvidas num espaço L² normal. Ou seja, não conseguimos projetar
em L²[0,1] usando polinômios regulares, porque
não é quadrado-integrável em torno de zero.
O mesmo problema acontece se você tentar montar o caso quadrático: toda vez que surgir
, você vai encontrar divergência.
Resposta
Não existe aproximação polinomial de mínimos quadrados (nem linear, nem quadrática) de
em L² sobre
porque a integral
diverge, impedindo a formação das equações de normal.