A partir da expressão geral para a diferença dividida de ordem k,
[y0, y1, ldots, yk]=sumi=0^k yiomegak^prime(xi), omegak(x)=(x-x0)(x-x1) cdots(x-xk)
verifique a fórmula de recorrência abaixo:
[y0, y1, ldots, yk]=[y0, y1, ldots, yi-1, yi+1, ldots yk]-[y0, y1, ldots, yj-1, yj+1, ldots, yk]xj-xi, i neq j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente tem a fórmula “fechada” para a diferença dividida de ordem [y0,y1,dots,yk] =sumi=0^kyiomegak'(xi) , omegak(x)=(x-x0)(x-x1)cdots(x-xk) :
[y0,dots,yk] =[,sem xi,]-[,sem xj,]xj-xi, ineq j
E o que queremos é mostrar que, tomando duas versões dessa diferença dividida onde a gente “tira” o ponto ou o ponto , a gente tem a fórmula de recorrência
Isso tudo faz parte de Newton — diferença dividida — e a gente vai precisar usar:
  1. A definição da diferença dividida via derivada de .
  2. O fato que, se você “tira” um fator de , a derivada se relaciona de um jeito simples.
  3. Uma identidade de frações do tipo .

Passo 2

Primeiro, lembre da derivada
omegak(x)=(x-x0)cdots(x-xk) ;Longrightarrow; omegak'(xm)=prodsubstackn=0nneq m^k(xm-xn)
Daí a fórmula geral fica
[y0,dots,yk] =summ=0^kymprodnneq m(xm-xn)
Quando a gente escreve , é a mesma coisa mas somando só em , e trocando por
.

Passo 3

Vamos definir
A:=[,y0,dots,yi-1,yi+1,dots,yk] =summneq iymomegak,i'(xm), B:=[,y0,dots,yj-1,yj+1,dots,yk] =summneq jymomegak,j'(xm)
Aqui vale a chave:
omegak,i(x)=omegak(x)x-xi ;Longrightarrow; omegak,i'(xm) =omegak'(xm)xm-xi, (mneq i),
e, análogamente,
.

Passo 4

Calculemos ymomegak,i'(xm)-ymomegak,j'(xm) =yml(xm-xiomegak'(xm)-xm-xjomegak'(xm)r) =ym,(xj-xi)omegak'(xm), . Para cada A-B =0-yiomegak,j'(xi) =-,yixi-xjomegak'(xi) =yi,(xj-xi)omegak'(xi) temos
A-B =yjomegak,i'(xj)-0 =yjxj-xiomegak'(xj)
usando A-B =summ=0^kym,(xj-xi)omegak'(xm) =(xj-xi),summ=0^kymomegak'(xm) =(xj-xi),[y0,dots,yk] .
Para , só tem termo, então
Para , só tem termo, e dá
Somando tudo,

Passo 5

Basta dividir ambos os lados por [y0,dots,yk] =A-Bxj-xi =[,sem xi,]-[,sem xj,]xj-xi , e… voilà!

Resposta

Mostramos exatamente que
[y0,y1,dots,yk] =[y0,dots,yi-1,yi+1,dots,yk] ;-; [y0,dots,yj-1,yj+1,dots,yk] xj-xi, ineq j,
usando apenas a definição geral e a identidade de frações parciais.

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