A partir da expressão geral para a diferença dividida de ordem
,
verifique a fórmula de recorrência abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente tem a fórmula “fechada” para a diferença dividida de ordem
:
E o que queremos é mostrar que, tomando duas versões dessa diferença dividida onde a gente “tira” o ponto
ou o ponto
, a gente tem a fórmula de recorrência
Isso tudo faz parte de Newton — diferença dividida — e a gente vai precisar usar:
- A definição da diferença dividida via derivada de
. - O fato que, se você “tira” um fator
de , a derivada se relaciona de um jeito simples. - Uma identidade de frações do tipo
.
Passo 2
Primeiro, lembre da derivada
Daí a fórmula geral fica
Quando a gente escreve
, é a mesma coisa mas somando só em
, e trocando
por
.
Passo 3
Vamos definir
Aqui vale a chave:
e, análogamente,
.
Passo 4
Calculemos
. Para cada
temos
usando
.
Para
, só
tem termo, então
Para
, só
tem termo, e dá
Somando tudo,
Passo 5
Basta dividir ambos os lados por
, e… voilà!
Resposta
Mostramos exatamente que
usando apenas a definição geral e a identidade de frações parciais.