Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,180, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 20 34 78
f(x) 0,100 0,250 0,700
(a) 25,0
(b) 27,1
(c) 28,0
(d) 28,7
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede para obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,180, usando um polinômio do primeiro grau (reta) a partir da tabela:
\begin{array}{lll} x & 20 & 34 & 78\\\ f(x) & 0,100 & 0,250 & 0,700 \end{array}
Informações relevantes: os pares de dados são (20,0,100), (34,0,250) e (78,0,700). A função parece crescer, e o valor alvo 0,180 está entre 0,100 e 0,250.

Passo 2

Como 0,100 < 0,180 < 0,250, a aproximação linear mais apropriada é feita entre os pontos (20,0,100) e (34,0,250). Ou seja, vamos interpolar linearmente entre esses dois pontos para encontrar x^{*}.

Passo 3

Para uma reta que passa pelos pontos (x_1,f_1) e (x_2,f_2) usamos a fórmula da inclinação (declive)
m=\frac{f_2-f_1}{x_2-x_1},
onde m é a taxa de variação de f por unidade de x. A equação da reta no formato ponto‑declive é
f(x)=f_1+m(x-x_1),
onde f_1 é o valor de f em x_1. Aqui, x_1=20, f_1=0,100, x_2=34, f_2=0,250.

Passo 4

Calculo do declive m:
m=\frac{0,250-0,100}{34-20}=\frac{0,150}{14}.
Simplificando a fração:
\frac{0,150}{14}=\frac{15}{1400}=\frac{3}{280}\approx 0,0107142857.

Passo 5

Agora escrevo a equação da reta usando o ponto (20,0,100):
f(x)=0,100+m(x-20).
Quero f(x)=0,180, então
0,180=0,100+m(x-20).
Isolando x:
0,080=m(x-20)\quad\Rightarrow\quad x-20=\frac{0,080}{m}.

Passo 6

Substituo m=\dfrac{3}{280} na expressão:
x-20=\frac{0,080}{3/280}=0,080\cdot\frac{280}{3}.
Faço as contas passo a passo:
0,080\cdot 280=22,4,
\frac{22,4}{3}=\frac{224}{30}=\frac{112}{15}\approx 7,4666667.
Logo
x=20+\frac{112}{15}=\frac{412}{15}\approx 27,4666667.

Passo 7

Arredondando, x^{*}\approx 27,47. Comparando com as alternativas dadas:
\begin{aligned} &\text{(a) }25,0\quad\text{diferença }2,4667,\\\ &\text{(b) }27,1\quad\text{diferença }0,3667,\\\ &\text{\text{(c)} }28,0\quad\text{diferença }0,5333,\\\ &\text{(d) }28,7\quad\text{diferença }1,2333. \end{aligned}çççç
A alternativa mais próxima é a (b) 27,1. Força aí — fizemos a conta direitinho com interpolação linear!

Resposta

(b) 27,1

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