Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para
tal que
, utilizando um polinômio do primeiro grau.
10
20
54
0,190
0,280
0,610
(a) 16,4
(b) 17,0
(c) 17,6
(d) 18,2
(e) Não sei
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10 | 20 | 54 |
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0,190 | 0,280 | 0,610 |
(b) 17,0
(c) 17,6
(d) 18,2
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá três pontos da função
:
. Pede-se a melhor aproximação para
tal que
utilizando um polinômio do primeiro grau.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Valor alvo:
.
Passo 2
Qual método usar com um polinômio de primeiro grau? Temos duas opções naturais:
- interpolação linear entre os dois pontos que cercam o valor
(isto é, entre e ); - ajuste por mínimos quadrados (regressão linear) usando os três pontos e obter a “melhor” reta que aproxima todos os dados.
Como o enunciado pede a “melhor aproximação” e temos três pontos (mais dados do que os necessários para passar uma reta exata), o procedimento mais apropriado é ajustar um polinômio de grau 1 pelo método dos mínimos quadrados — isto fornece a reta que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos e é, no sentido clássico, a melhor aproximação linear aos três pontos. Vou então fazer a regressão linear (reta de mínimos quadrados) e resolver
.
Passo 3
Apresentando a fórmula da regressão linear (mínimos quadrados) de forma didática: procuramos uma reta
onde
é o intercepto e
a inclinação. As fórmulas padrão (obtidas resolvendo as equações normais) são
em que
é a média dos
e
a média dos
(aqui
). Essas fórmulas vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
e derivar em relação a
e
. As variáveis significam:
-
: cada abscissa dos dados (aqui ); -
: cada imagem correspondente (aqui ); -
: média aritmética dos ; -
: média aritmética dos ; -
: coeficiente angular (inclinação) da melhor reta; -
: coeficiente linear (intercepto) da melhor reta.
Passo 4
Calcular as médias
e
.
Passo 5
Calcular o numerador de
:
Fazendo termo a termo:
Somando:
Passo 6
Calcular o denominador de
:
Logo
Passo 7
Calcular
usando
:
Portanto a reta de ajuste é aproximadamente
Passo 8
Agora resolvemos
na reta estimada:
Isolando
:
Arredondando uma casa decimal,
.
Passo 9
Comparando com as alternativas dadas:
,
,
,
, “Não sei”. O valor obtido
está mais próximo de
do que de
(diferenças
e
, respectivamente). Portanto a melhor opção entre as fornecidas é a alternativa (a)
.
Resposta
(a)