Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,250, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 10 20 54
f(x) 0,190 0,280 0,610
(a) 16,4
(b) 17,0
(c) 17,6
(d) 18,2
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos da função f: (x,f(x))=(10,0,190),\\ (20,0,280),\\ (54,0,610). Pede-se a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,250 utilizando um polinômio do primeiro grau.
Informações relevantes fornecidas:
x:10,\\\ 20,\\\ 54
f(x):0,190,\\\ 0,280,\\\ 0,610
Valor alvo: f(x^{*})=0,250.

Passo 2

Qual método usar com um polinômio de primeiro grau? Temos duas opções naturais:
  1. interpolação linear entre os dois pontos que cercam o valor 0,250 (isto é, entre x=10 e x=20);
  2. ajuste por mínimos quadrados (regressão linear) usando os três pontos e obter a “melhor” reta que aproxima todos os dados.
Como o enunciado pede a “melhor aproximação” e temos três pontos (mais dados do que os necessários para passar uma reta exata), o procedimento mais apropriado é ajustar um polinômio de grau 1 pelo método dos mínimos quadrados — isto fornece a reta que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos e é, no sentido clássico, a melhor aproximação linear aos três pontos. Vou então fazer a regressão linear (reta de mínimos quadrados) e resolver f(x)=0,250.

Passo 3

Apresentando a fórmula da regressão linear (mínimos quadrados) de forma didática: procuramos uma reta
f(x)=a+bx,
onde a é o intercepto e b a inclinação. As fórmulas padrão (obtidas resolvendo as equações normais) são
b=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}, \qquad a=\bar{y}-b\bar{x},
em que \bar{x} é a média dos x_i e \bar{y} a média dos y_i (aqui y_i=f(x_i)). Essas fórmulas vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos S=\sum (y_i - (a+bx_i))^2 e derivar em relação a a e b. As variáveis significam:
  • x_i: cada abscissa dos dados (aqui 10,20,54);
  • y_i: cada imagem correspondente (aqui 0,190,0,280,0,610);
  • \bar{x}: média aritmética dos x_i;
  • \bar{y}: média aritmética dos y_i;
  • b: coeficiente angular (inclinação) da melhor reta;
  • a: coeficiente linear (intercepto) da melhor reta.

Passo 4

Calcular as médias \bar{x} e \bar{y}.
\bar{x}=\frac{10+20+54}{3}=\frac{84}{3}=28.
\bar{y}=\frac{0,190+0,280+0,610}{3}=\frac{1,080}{3}=0,360.

Passo 5

Calcular o numerador de b:
\sum_{i=1}^3 (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}).
Fazendo termo a termo:
(10-28)(0,190-0,360)=(-18)(-0,170)=3,06,
(20-28)(0,280-0,360)=(-8)(-0,080)=0,64,
(54-28)(0,610-0,360)=(26)(0,250)=6,50.
Somando:
\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=3,06+0,64+6,50=10,20.

Passo 6

Calcular o denominador de b:
\sum_{i=1}^3 (x_i-\bar{x})^2 = (-18)^2+(-8)^2+26^2=324+64+676=1064.
Logo
b=\frac{10,20}{1064}\approx 0,009587.

Passo 7

Calcular a usando a=\bar{y}-b\bar{x}:
a=0,360 - 0,009587\cdot 28 \approx 0,360 - 0,268436 \approx 0,091564.
Portanto a reta de ajuste é aproximadamente
f(x)\approx 0,091564 + 0,009587\,x.

Passo 8

Agora resolvemos f(x^{*})=0,250 na reta estimada:
0,250 = 0,091564 + 0,009587\,x^{*}.
Isolando x^{*}:
x^{*}=\frac{0,250-0,091564}{0,009587}=\frac{0,158436}{0,009587}\approx 16,53.
Arredondando uma casa decimal, x^{*}\approx 16,5.

Passo 9

Comparando com as alternativas dadas: 16,4, 17,0, 17,6, 18,2, “Não sei”. O valor obtido 16,53 está mais próximo de 16,4 do que de 17,0 (diferenças 0,13 e 0,47, respectivamente). Portanto a melhor opção entre as fornecidas é a alternativa (a) 16,4.

Resposta

(a) 16,4

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