Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para
tal que
, utilizando um polinômio do primeiro grau.
12
30
78
0,350
0,470
0,880
(a) 20,4
(b) 21,1
(c) 21,8
(d) 22,4
(e) Não sei
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12 | 30 | 78 |
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0,350 | 0,470 | 0,880 |
(b) 21,1
(c) 21,8
(d) 22,4
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a melhor aproximação para
tal que
, usando um polinômio do primeiro grau.
Dados fornecidos na tabela:
com
com
com
Dados fornecidos na tabela:
Passo 2
Por “polinômio do primeiro grau” entendemos uma reta aproximante da forma
onde
é a inclinação e
o intercepto. Como temos três pontos e uma reta só pode passar exatamente por no máximo duas, a “melhor aproximação” que usa todos os dados é a reta de mínimos quadrados (regressão linear), que minimiza o erro quadrático entre os valores observados e os estimados. Vou explicar as fórmulas e usá‑las passo a passo.
Passo 3
Fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados (com
pontos
):
Aqui
é o número de pontos,
é a soma das abscissas,
a soma das ordenadas,
a soma dos produtos e
a soma dos quadrados das abscissas. Essas fórmulas vêm da solução do sistema normal que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos; não precisa decorar profundamente, mas lembrar a ideia: ajustar coeficientes de modo que o erro total quadrático seja mínimo.
Passo 4
Calcular as somas com os dados da tabela:
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula para
:
Passo 6
Agora
:
Passo 7
Portanto o modelo linear aproximante é
Para encontrar
tal que
resolvemos
Passo 8
Isolando
:
Arredondando para uma casa decimal dá aproximadamente
. Entre as alternativas fornecidas, a mais próxima é
.
Resposta
(c)