Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,420, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 12 30 78
f(x) 0,350 0,470 0,880
(a) 20,4
(b) 21,1
(c) 21,8
(d) 22,4
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,420, usando um polinômio do primeiro grau.
Dados fornecidos na tabela:
x=12 com f(x)=0,350
x=30 com f(x)=0,470
x=78 com f(x)=0,880

Passo 2

Por “polinômio do primeiro grau” entendemos uma reta aproximante da forma
f(x)\approx a x + b,
onde a é a inclinação e b o intercepto. Como temos três pontos e uma reta só pode passar exatamente por no máximo duas, a “melhor aproximação” que usa todos os dados é a reta de mínimos quadrados (regressão linear), que minimiza o erro quadrático entre os valores observados e os estimados. Vou explicar as fórmulas e usá‑las passo a passo.

Passo 3

Fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados (com n pontos (x_i,y_i)):
a=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.
Aqui n é o número de pontos, \sum x_i é a soma das abscissas, \sum y_i a soma das ordenadas, \sum x_i y_i a soma dos produtos e \sum x_i^2 a soma dos quadrados das abscissas. Essas fórmulas vêm da solução do sistema normal que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos; não precisa decorar profundamente, mas lembrar a ideia: ajustar coeficientes de modo que o erro total quadrático seja mínimo.

Passo 4

Calcular as somas com os dados da tabela:
\sum x_i = 12 + 30 + 78 = 120,
\sum y_i = 0,350 + 0,470 + 0,880 = 1,700,
\sum x_i y_i = 12\cdot 0,350 + 30\cdot 0,470 + 78\cdot 0,880 = 4,2 + 14,1 + 68,64 = 86,94,
\sum x_i^2 = 12^2 + 30^2 + 78^2 = 144 + 900 + 6084 = 7128,
e n=3.

Passo 5

Aplicando a fórmula para a:
a=\frac{3\cdot 86,94 - 120\cdot 1,700}{3\cdot 7128 - 120^2} = \frac{260,82 - 204}{21384 - 14400} = \frac{56,82}{6984} \approx 0,008137.

Passo 6

Agora b:
b=\frac{1,700 - a\cdot 120}{3} =\frac{1,700 - 0,008137\cdot 120}{3} =\frac{1,700 - 0,97644}{3} =\frac{0,72356}{3} \approx 0,241187.

Passo 7

Portanto o modelo linear aproximante é
f(x)\approx 0,008137\,x + 0,241187.
Para encontrar x^{*} tal que f(x^{*})=0,420 resolvemos
0,420 = 0,008137\,x^{*} + 0,241187.

Passo 8

Isolando x^{*}:
x^{*} = \frac{0,420 - 0,241187}{0,008137} = \frac{0,178813}{0,008137} \approx 21,98.
Arredondando para uma casa decimal dá aproximadamente 21,98\approx 22,0. Entre as alternativas fornecidas, a mais próxima é 21,8.

Resposta

(c) \;21,8

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