Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para
tal que
, utilizando um polinômio do primeiro grau.
10
34
54
0,430
0,610
0,800
(a) 21,9
(b) 22,5
(c) 23,0
(d) 23,7
(e) Não sei
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10 | 34 | 54 |
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0,430 | 0,610 | 0,800 |
(b) 22,5
(c) 23,0
(d) 23,7
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado pede: “obter a melhor aproximação para
tal que
, utilizando um polinômio do primeiro grau.”
Dados fornecidos na tabela:
com
com
com
.
O que vamos fazer (sem resolver ainda): como queremos um polinômio de primeiro grau, isto é, uma reta, vamos aproximar por uma reta e então resolver a equação dessa reta para achar
tal que
. Antes de escolher quais pontos usar para construir a reta, note que
está entre os valores
(em
) e
(em
). Portanto faz sentido usar esses dois pontos e fazer interpolação linear entre eles (isto é, a reta que passa por
e
).
Dados fornecidos na tabela:
O que vamos fazer (sem resolver ainda): como queremos um polinômio de primeiro grau, isto é, uma reta, vamos aproximar
Passo 2
Breve explicação do método (aula rápida): interpolação linear entre dois pontos significa achar a reta que passa pelos pontos
e
. A inclinação (coeficiente angular) dessa reta é dada por
onde
e
. Depois escrevemos a reta na forma ponto-inclinação ou na forma
e resolvemos para
quando
é o valor desejado. Aqui
.
Passo 3
Calcular a inclinação
usando os dois pontos escolhidos:
Passo 4
Escrever a equação da reta que passa por
com inclinação
. Usando a forma ponto-inclinação:
Colocando na forma
fica
Passo 5
Agora imponho
e resolvo para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Portanto
Passo 6
Comentário sobre escolha do método (por que não usar todos os pontos com regressão linear): outra abordagem seria ajustar uma reta por mínimos quadrados usando os três pontos, mas a instrução “utilizando um polinômio do primeiro grau” e o fato de que
está estritamente entre
e
sugere interpolação linear entre os pontos que cercam o valor. A interpolação linear é mais direta e é a interpretação padrão para “aproximação por polinômio do primeiro grau” quando se tem uma tabela e o valor alvo está entre dois pontos dados.
Comparando com as alternativas do enunciado, o valor exato obtido pela interpolação linear é . Entre as opções oferecidas, a que mais se aproxima de
é a alternativa (a)
(diferença de
), então escolhemos essa como melhor aproximação entre as alternativas dadas.
Comparando com as alternativas do enunciado, o valor exato obtido pela interpolação linear é
Resposta
(a) 21,9