Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,520, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 10 34 54
f(x) 0,430 0,610 0,800
(a) 21,9
(b) 22,5
(c) 23,0
(d) 23,7
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: “obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,520, utilizando um polinômio do primeiro grau.”
Dados fornecidos na tabela:
x=10 com f(x)=0,430
x=34 com f(x)=0,610
x=54 com f(x)=0,800.
O que vamos fazer (sem resolver ainda): como queremos um polinômio de primeiro grau, isto é, uma reta, vamos aproximar f por uma reta e então resolver a equação dessa reta para achar x^{*} tal que f(x^{*})=0,520. Antes de escolher quais pontos usar para construir a reta, note que 0,520 está entre os valores 0,430 (em x=10) e 0,610 (em x=34). Portanto faz sentido usar esses dois pontos e fazer interpolação linear entre eles (isto é, a reta que passa por (10,0,430) e (34,0,610)).

Passo 2

Breve explicação do método (aula rápida): interpolação linear entre dois pontos significa achar a reta que passa pelos pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2). A inclinação (coeficiente angular) dessa reta é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
onde y_1=f(x_1) e y_2=f(x_2). Depois escrevemos a reta na forma ponto-inclinação ou na forma y=m x + b e resolvemos para x quando y é o valor desejado. Aqui x_1=10,\;y_1=0,430,\;x_2=34,\;y_2=0,610.

Passo 3

Calcular a inclinação m usando os dois pontos escolhidos:
m=\frac{0,610-0,430}{34-10}=\frac{0,180}{24}=0,0075.

Passo 4

Escrever a equação da reta que passa por (10,0,430) com inclinação m=0,0075. Usando a forma ponto-inclinação:
y-0,430=0,0075\,(x-10).
Colocando na forma y=\dots fica
y=0,430+0,0075\,(x-10).

Passo 5

Agora imponho y=0,520 e resolvo para x:
0,520=0,430+0,0075\,(x-10).
Subtraindo 0,430 de ambos os lados:
0,090=0,0075\,(x-10).
Dividindo por 0,0075:
x-10=\frac{0,090}{0,0075}=12.
Portanto
x^{*}=10+12=22.

Passo 6

Comentário sobre escolha do método (por que não usar todos os pontos com regressão linear): outra abordagem seria ajustar uma reta por mínimos quadrados usando os três pontos, mas a instrução “utilizando um polinômio do primeiro grau” e o fato de que 0,520 está estritamente entre 0,430 e 0,610 sugere interpolação linear entre os pontos que cercam o valor. A interpolação linear é mais direta e é a interpretação padrão para “aproximação por polinômio do primeiro grau” quando se tem uma tabela e o valor alvo está entre dois pontos dados.
Comparando com as alternativas do enunciado, o valor exato obtido pela interpolação linear é x^{*}=22. Entre as opções oferecidas, a que mais se aproxima de 22 é a alternativa (a) 21,9 (diferença de 0,1), então escolhemos essa como melhor aproximação entre as alternativas dadas.

Resposta

(a) 21,9

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