Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,20, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 10 12 34
f(x) 0,150 0,182 0,501
(a) 12,7
(b) 13,3
(c) 14,0
(d) 14,5
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,20, usando um polinômio do primeiro grau (reta) a partir da tabela abaixo. Dados fornecidos:
\begin{array}{lccc} x & 10 & 12 & 34\\\ \hline f(x) & 0,150 & 0,182 & 0,501 \end{array}
As opções dadas são:
(a) 12,7 \quad (b) 13,3 \quad (c) 14,0 \quad (d) 14,5 \quad (e) Não sei

Passo 2

Escolha dos pontos para interpolar: como queremos f(x^{*})=0,20, precisamos de dois pontos com valores de f que “cercam” 0,20. Observando a tabela:
f(12)=0,182<0,20\quad\text{e}\quad f(34)=0,501>0,20,
logo o valor procurado está entre x=12 e x=34. Portanto vamos usar os pontos (x_0,y_0)=(12,0,182) e (x_1,y_1)=(34,0,501) e aplicar interpolação linear (polinômio de 1º grau).

Passo 3

Fórmula da interpolação linear (explicação didática): a reta que passa por (x_0,y_0) e (x_1,y_1) tem declive (coeficiente angular)
m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}.
A equação da reta escrita a partir de (x_0,y_0) é
y=y_0+m(x-x_0).
Aqui x é a variável independente (o que queremos achar), y é o valor da função, m é a inclinação que diz quanto y muda quando x muda de uma unidade. Para achar x^{*} tal que y=0,20, basta substituir y=0,20 e resolver para x:
0,20 = y_0 + m(x^{*}-x_0)\quad\Rightarrow\quad x^{*}=x_0+\frac{0,20-y_0}{m}.

Passo 4

Cálculo do declive m com os números da tabela:
m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{0,501-0,182}{34-12}=\frac{0,319}{22}=0,0145.
Expliquei cada passo: subtrai-se as ordenadas para obter variação de y e subtrai-se as abscissas para obter variação de x; dividir dá a variação de y por unidade de x.

Passo 5

Agora substituímos na fórmula para x^{*}:
0,20=0,182+0,0145\,(x^{*}-12).
Isolando x^{*}:
0,0145\,(x^{*}-12)=0,20-0,182=0,018,
x^{*}-12=\frac{0,018}{0,0145}\approx 1,241379\ldots,
x^{*}\approx 12+1,241379\ldots \approx 13,241379\ldots
Portanto a aproximação obtida pela reta é x^{*}\approx 13,24.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): usando x=13,3 (opção mais próxima), a reta dá
f(13,3)=0,182+0,0145\cdot(13,3-12)=0,182+0,0145\cdot1,3=0,182+0,01885=0,20085\approx0,2009,
que é muito próximo de 0,20. Nosso valor calculado 13,24 corresponde bem a essa verificação.

Resposta

(b) 13,3

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