Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para
tal que
, utilizando um polinômio do primeiro grau.
20
30
54
0,520
0,633
0,810
(a) 25,3
(b) 25,8
(c) 26,4
(d) 27,0
(e) Não sei
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20 | 30 | 54 |
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0,520 | 0,633 | 0,810 |
(b) 25,8
(c) 26,4
(d) 27,0
(e) Não sei
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a melhor aproximação para
tal que
, usando um polinômio do primeiro grau.
Dados fornecidos (peguei estes valores diretamente da tabela do enunciado):
Passo 2
Escolha do método: a frase do enunciado fala em “melhor aproximação” usando um polinômio do primeiro grau. Isso sugere que devemos ajustar uma reta que represente “melhor” os três pontos (ou seja, ajuste por mínimos quadrados / regressão linear), em vez de simplesmente interpolar entre dois pontos vizinhos. Vou, então, construir a reta que melhor se ajusta aos três pontos pelo método dos mínimos quadrados e usar essa reta para resolver
.
Breve explicação do método (didática): o ajuste linear procura uma reta
que minimize a soma dos quadrados dos resíduos
. As fórmulas fechadas para os coeficientes
(declive) e
(intercepto) são obtidas das chamadas equações normais e são:
onde
é o número de pontos,
. Aqui
. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular as somas necessárias (usei os valores da tabela):
Passo 4
Calcular o coeficiente
(declive) usando a fórmula:
Substituindo os números:
Calculemos cada peça:
logo o numerador fica
No denominador:
portanto
Assim
(Arredondei o declive para cinco dígitos significativos quando necessário; manteremos precisão suficiente para o cálculo de
.)
Passo 5
Calcular o intercepto
pela fórmula
Substituindo:
Calculemos:
então
e
Portanto a reta ajustada é aproximadamente
Passo 6
Agora resolvemos para
tal que
. Escrevemos a equação:
Isolando
:
Calculemos o numerador:
E agora a divisão:
Passo 7
Arredondando para a precisão indicada nas alternativas,
, o que coincide com a alternativa mais próxima dada que é
.
Resposta
(d)