Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,590, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 20 30 54
f(x) 0,520 0,633 0,810
(a) 25,3
(b) 25,8
(c) 26,4
(d) 27,0
(e) Não sei

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,590, usando um polinômio do primeiro grau.
Dados fornecidos (peguei estes valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{aligned} x_1 &= 20,\quad &f(x_1)&=0,520,\\\ x_2 &= 30,\quad &f(x_2)&=0,633,\\\ x_3 &= 54,\quad &f(x_3)&=0,810. \end{aligned}

Passo 2

Escolha do método: a frase do enunciado fala em “melhor aproximação” usando um polinômio do primeiro grau. Isso sugere que devemos ajustar uma reta que represente “melhor” os três pontos (ou seja, ajuste por mínimos quadrados / regressão linear), em vez de simplesmente interpolar entre dois pontos vizinhos. Vou, então, construir a reta que melhor se ajusta aos três pontos pelo método dos mínimos quadrados e usar essa reta para resolver f(x)=0,590.
Breve explicação do método (didática): o ajuste linear procura uma reta
f(x)=a x + b
que minimize a soma dos quadrados dos resíduos \sum (f(x_i)- (a x_i+b))^2. As fórmulas fechadas para os coeficientes a (declive) e b (intercepto) são obtidas das chamadas equações normais e são:
a=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n},
onde n é o número de pontos, y_i=f(x_i). Aqui n=3. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular as somas necessárias (usei os valores da tabela):
\begin{aligned} \sum x_i &= 20 + 30 + 54 = 104,\\[4pt] \sum y_i &= 0,520 + 0,633 + 0,810 = 1,963,\\[4pt] \sum x_i y_i &= 20\cdot0,520 + 30\cdot0,633 + 54\cdot0,810\\\ &=10,400 + 18,990 + 43,740 = 73,130,\\[4pt] \sum x_i^2 &= 20^2 + 30^2 + 54^2 = 400 + 900 + 2916 = 4216. \end{aligned}]

Passo 4

Calcular o coeficiente a (declive) usando a fórmula:
a=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}.
Substituindo os números:
a=\frac{3\cdot73,130 - 104\cdot1,963}{3\cdot4216 - 104^2}.
Calculemos cada peça:
3\cdot73,130 = 219,390, \qquad 104\cdot1,963 = 204,152,
logo o numerador fica
219,390 - 204,152 = 15,238.
No denominador:
3\cdot4216 = 12,648, \qquad 104^2 = 10,816,
portanto
12,648 - 10,816 = 1,832.
Assim
a=\frac{15,238}{1,832}\approx 0,00832.
(Arredondei o declive para cinco dígitos significativos quando necessário; manteremos precisão suficiente para o cálculo de x^{*}.)

Passo 5

Calcular o intercepto b pela fórmula
b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.
Substituindo:
b=\frac{1,963 - (0,00832)\cdot104}{3}.
Calculemos:
(0,00832)\cdot104 \approx 0,86528,
então
1,963 - 0,86528 = 1,09772,
e
b \approx \frac{1,09772}{3} \approx 0,36591.
Portanto a reta ajustada é aproximadamente
f(x)\approx 0,00832\,x + 0,36591.

Passo 6

Agora resolvemos para x^{*} tal que f(x^{*})=0,590. Escrevemos a equação:
0,00832\,x^{*} + 0,36591 = 0,590.
Isolando x^{*}:
x^{*} = \frac{0,590 - 0,36591}{0,00832}.
Calculemos o numerador:
0,590 - 0,36591 = 0,22409.
E agora a divisão:
x^{*} \approx \frac{0,22409}{0,00832} \approx 26,92.

Passo 7

Arredondando para a precisão indicada nas alternativas, x^{*}\approx 26,9, o que coincide com a alternativa mais próxima dada que é 27,0.

Resposta

(d) 27,0

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