2{ }^{\text {a }} nova questão
Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,410, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 12 34 54
f(x) 0,310 0,478 0,620
(a) 21,0
(b) 21,7
(c) 22,4
(d) 23,0
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,410 usando um polinômio do primeiro grau. A tabela fornecida contém três pontos da função f:
(12,\;0,310),\qquad (34,\;0,478),\qquad (54,\;0,620).
Observação importante: o valor 0,410 está entre 0,310 e 0,478, portanto o ponto x^{*} correspondente deve estar entre x=12 e x=34. Neste passo só identifiquei o que é pedido e os dados dados.

Passo 2

Decisão do método: um “polinômio do primeiro grau” é simplesmente uma reta. Como 0,410 está entre f(12) e f(34), a forma mais direta e adequada é interpolar linearmente entre os pontos (12,0,310) e (34,0,478). Isso significa aproximar f(x) por uma reta que passa por esses dois pontos e então resolver essa reta igual a 0,410.

Passo 3

Relembrando a fórmula da reta que passa por dois pontos: se temos pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a reta pode ser escrita como
y = y_1 + m\,(x-x_1),
onde a inclinação m é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui x é a variável independente e y a dependente; m mede a variação de y por unidade de x. Vou aplicar essa fórmula com (x_1,y_1)=(12,0,310) e (x_2,y_2)=(34,0,478).

Passo 4

Calcular a inclinação m:
m=\frac{0,478-0,310}{34-12}=\frac{0,168}{22}.
Podemos simplificar este número: 0,168=\dfrac{21}{125}, logo
m=\frac{21/125}{22}=\frac{21}{2750}=0,0076363636\ldots
Então a reta aproximante é
f(x)\approx 0,310 + \frac{21}{2750}\,(x-12).

Passo 5

Agora igualamos a reta a 0,410 e resolvemos para x:
0,310 + \frac{21}{2750}\,(x-12)=0,410.
Isolando x:
\frac{21}{2750}\,(x-12)=0,100
x-12 = 0,100\cdot\frac{2750}{21}=\frac{275}{21}
x = 12 + \frac{275}{21}=\frac{252+275}{21}=\frac{527}{21}.
Em forma decimal,
x=\frac{527}{21}\approx 25,095238\ldots

Passo 6

Interpretação e arredondamento: a melhor aproximação linear (polinômio do 1º grau entre os pontos que cercam 0,410) dá x^{*}\approx 25,095. Se for necessário arredondar para uma casa decimal, seria 25,1.

Resposta

\,x^{*}=\dfrac{527}{21}\approx 25,095

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