Questão 2.10
questão: Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-2, 4), (1, 2) e (3, 9). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(0).
(a) 3,2
(b) 4,1
(c) 5,0
(d) 5,7
(e) Não sei
(a) 3,2
(b) 4,1
(c) 5,0
(d) 5,7
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano cartesiano:
,
e
. Pede-se para encontrar o polinômio
que passa por esses três pontos usando o método de interpolação de Lagrange e, em seguida, determinar o valor
.
Informações relevantes listadas:
O que o problema pede: calcular explicitamente .
Informações relevantes listadas:
O que o problema pede: calcular explicitamente
Passo 2
Apresentando a fórmula de Lagrange (a teoria passo a passo, sem pular etapas): para três pontos com abscissas
e ordenadas
, o polinômio interpolador de grau ≤2 é
onde cada polinômio base
é definido por
Explicando em palavras:
é construído para valer
em
e
em
para
. Assim
combina os
com essas funções que “selecionam” o valor correto em cada nó.
Passo 3
Vamos montar explicitamente os três polinômios base usando os dados
.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Passo 4
Como queremos
, não precisamos expandir todo o polinômio: basta avaliar cada
em
e combinar com os
.
Avalie
:
Avalie
:
Avalie
:
Verificação rápida (propriedade das
):
. Está coerente.
Passo 5
Agora combinamos os valores com as ordenadas
:
Substituindo os números:
Calcule passo a passo:
Então