Questão 2.10

2{ }^{\text {a }} questão: Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-2, 4), (1, 2) e (3, 9). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(0).
(a) 3,2
(b) 4,1
(c) 5,0
(d) 5,7
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano cartesiano: (-2,4), (1,2) e (3,9). Pede-se para encontrar o polinômio p que passa por esses três pontos usando o método de interpolação de Lagrange e, em seguida, determinar o valor p(0).
Informações relevantes listadas:
\;x_0=-2,\;y_0=4
\;x_1=1,\;y_1=2
\;x_2=3,\;y_2=9
O que o problema pede: calcular explicitamente p(0).

Passo 2

Apresentando a fórmula de Lagrange (a teoria passo a passo, sem pular etapas): para três pontos com abscissas \;x_0,x_1,x_2 e ordenadas \;y_0,y_1,y_2, o polinômio interpolador de grau ≤2 é
p(x)=y_0\,L_0(x)+y_1\,L_1(x)+y_2\,L_2(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando em palavras: L_i(x) é construído para valer 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\neq i. Assim p(x) combina os y_i com essas funções que “selecionam” o valor correto em cada nó.

Passo 3

Vamos montar explicitamente os três polinômios base usando os dados \;x_0=-2,\;x_1=1,\;x_2=3.
Calcule L_0(x):
L_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_0-x_2} =\frac{x-1}{-2-1}\cdot\frac{x-3}{-2-3} =\frac{(x-1)(x-3)}{(-3)(-5)} =\frac{(x-1)(x-3)}{15}.
Calcule L_1(x):
L_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2} =\frac{x+2}{1-(-2)}\cdot\frac{x-3}{1-3} =\frac{(x+2)(x-3)}{3\cdot(-2)} =-\frac{(x+2)(x-3)}{6}.
Calcule L_2(x):
L_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{x+2}{3-(-2)}\cdot\frac{x-1}{3-1} =\frac{(x+2)(x-1)}{5\cdot 2} =\frac{(x+2)(x-1)}{10}.

Passo 4

Como queremos p(0), não precisamos expandir todo o polinômio: basta avaliar cada L_i em x=0 e combinar com os y_i.
Avalie L_0(0):
L_0(0)=\frac{(0-1)(0-3)}{15}=\frac{(-1)(-3)}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.
Avalie L_1(0):
L_1(0)=-\frac{(0+2)(0-3)}{6} =-\frac{2\cdot(-3)}{6} =-\frac{-6}{6}=1.
Avalie L_2(0):
L_2(0)=\frac{(0+2)(0-1)}{10}=\frac{2\cdot(-1)}{10}=-\frac{2}{10}=-\frac{1}{5}.
Verificação rápida (propriedade das L_i): L_0(0)+L_1(0)+L_2(0)=\frac{1}{5}+1-\frac{1}{5}=1. Está coerente.

Passo 5

Agora combinamos os valores com as ordenadas y_0,y_1,y_2:
p(0)=y_0\,L_0(0)+y_1\,L_1(0)+y_2\,L_2(0).
Substituindo os números:
p(0)=4\cdot\frac{1}{5}+2\cdot 1+9\cdot\left(-\frac{1}{5}\right).
Calcule passo a passo:
4\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{5},\qquad 9\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{9}{5}.
Então
p(0)=\frac{4}{5}+2-\frac{9}{5}=2+\frac{4-9}{5}=2-\frac{5}{5}=2-1=1.

Resposta

1

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