Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,700, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 34 54 78
f(x) 0,620 0,780 0,950
(a) 42,0
(b) 42,8
(c) 43,5
(d) 44,0
(e) Não sei

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,700 usando um polinômio do primeiro grau (ou seja, uma reta que aproxime f).
Informações dadas na tabela:
x=34 corresponde a f(x)=0,620.
x=54 corresponde a f(x)=0,780.
x=78 corresponde a f(x)=0,950.
Observação relevante (extraída da tabela): o valor 0,700 está entre 0,620 (em x=34) e 0,780 (em x=54), portanto a reta entre esses dois pontos contém a solução procurada.

Passo 2

Escolhendo e entendendo o método: usar um polinômio do primeiro grau significa aproximar f por uma reta. Uma reta pode ser escrita na forma ponto-declive (point-slope) como
f(x)=f(x_0)+m\,(x-x_0),
onde m é a inclinação (slope) da reta e x_0 é um ponto conhecido.
Explicando as variáveis: f(x_0) é o valor da função no ponto escolhido; m mede quanto f cresce (ou decresce) em média quando x aumenta de uma unidade; x é a variável independente.
Como 0,700 está entre 0,620 e 0,780, faz sentido usar a reta que passa por (34,0,620) e (54,0,780) e resolver nela f(x)=0,700.

Passo 3

Calcular a inclinação m da reta que passa por (34,0,620) e (54,0,780). A fórmula da inclinação entre dois pontos (x_1,f_1) e (x_2,f_2) é
m=\frac{f_2-f_1}{x_2-x_1}.
Aplicando:
m=\frac{0,780-0,620}{54-34}=\frac{0,160}{20}=0,008.
Interpretação: para cada aumento de 1 unidade em x, a reta aumenta 0,008 em f.

Passo 4

Montar a equação da reta usando o ponto (34,0,620) e o valor de m:
f(x)=0,620+0,008\,(x-34).
Agora impomos f(x)=0,700 e resolvemos para x:
0,700=0,620+0,008\,(x-34).
Subtraindo 0,620 de ambos os lados:
0,080=0,008\,(x-34).
Dividindo por 0,008:
x-34=\frac{0,080}{0,008}=10.
Portanto
x=34+10=44.

Passo 5

Verificação rápida (substituir x=44 na reta):
f(44)=0,620+0,008\,(44-34)=0,620+0,008\cdot 10=0,620+0,080=0,700,
confirma que a solução está correta. Uma forma rápida de ver isso sem montar a equação é pela proporcionalidade: \dfrac{x-34}{54-34}=\dfrac{0,700-0,620}{0,780-0,620}=\dfrac{0,080}{0,160}=\tfrac{1}{2}, então x-34=10, x=44.

Resposta

44,0

Exercícios relacionados