Calcule \int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{4} x d x. utilizando a regra dos trapézios. Considere 4 subintervalos e 6 casas decimais.
(a) 0,593038
(b) 0,582101
(c) 0,589048
(d) 0,591011
(e) Nåo sei

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral
\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}^{4}x\,dx
utilizando a regra dos trapézios com 4 subintervalos e reporte o resultado com 6 casas decimais. Os dados fornecidos são:
a=0,\quad b=\pi/2,\quad n=4,\quad f(x)=\operatorname{sen}^{4}x,
e devo usar a regra dos trapézios (com 4 subintervalos) e apresentar o resultado com 6 casas decimais.

Passo 2

Vou aplicar a regra dos trapézios. Aqui vai a fórmula e o que cada símbolo significa:
h=\frac{b-a}{n}
é o tamanho de cada subintervalo; os nós são
x_i = a + i h,\qquad i=0,1,\dots,n,
e os valores da função são f_i=f(x_i). A regra dos trapézios com n subintervalos é
T_n=\frac{h}{2}\left(f_0+2\sum_{i=1}^{n-1}f_i+f_n\right).
Explicando: multiplicamos a média das alturas (com pesos 1 nas extremidades e 2 nos pontos interiores) pelo comprimento h de cada trapézio.

Passo 3

Calculo o passo h:
h=\frac{\pi/2-0}{4}=\frac{\pi}{8}.
Numericamente,
\frac{\pi}{8}\approx 0,392699081698724\ldots

Passo 4

Calculo os nós e os valores f_i=\operatorname{sen}^{4}x_i.
Nós:
x_0=0,\quad x_1=\frac{\pi}{8},\quad x_2=\frac{\pi}{4},\quad x_3=\frac{3\pi}{8},\quad x_4=\frac{\pi}{2}.
Valores da função (vou mostrar a ideia do cálculo e valores numéricos com precisão suficiente):
f_0=\operatorname{sen}^{4}0=0.
f_1=\operatorname{sen}^{4}\!\left(\frac{\pi}{8}\right).
Sabemos \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{8}\right)\approx 0,3826834323650898, então
f_1\approx 0,3826834323650898^{4}\approx 0,021446609406726243.
f_2=\operatorname{sen}^{4}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{4}=\frac{1}{4}=0,25.
f_3=\operatorname{sen}^{4}\!\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\cos^{4}\!\left(\frac{\pi}{8}\right)\approx 0,9238795325112867^{4}\approx 0,7285533905932734.
f_4=\operatorname{sen}^{4}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Observação numérica útil: somando f_1+f_2+f_3 obtemos aproximadamente
0,021446609406726243+0,25+0,7285533905932734\approx 1{,}000000000000000\\ (\text{numericamente }1).
Há uma razão simples para isso: f_1+f_3=\operatorname{sen}^{4}(\pi/8)+\cos^{4}(\pi/8) e
\operatorname{sen}^{4}x+\cos^{4}x=1-2\operatorname{sen}^{2}x\cos^{2}x=1-\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}2x.
Para x=\pi/8 temos \operatorname{sen}^{2}2x=\operatorname{sen}^{2}(\pi/4)=1/2, então \operatorname{sen}^{4}(\pi/8)+\cos^{4}(\pi/8)=3/4. Somando f_2=1/4 1.

Passo 5

Aplico a fórmula dos trapézios:
T_4=\frac{h}{2}\left(f_0+2(f_1+f_2+f_3)+f_4\right).
Substituindo h=\pi/8 e os f_i:
T_4=\frac{\pi/8}{2}\left(0+2\cdot 1+1\right)=\frac{\pi}{16}\cdot 3=\frac{3\pi}{16}.
Portanto o resultado obtido pela regra dos trapézios com 4 subintervalos é exatamente \displaystyle \frac{3\pi}{16}.

Passo 6

Calculo o valor numérico e apresento com 6 casas decimais. Numericamente,
\frac{3\pi}{16}\approx 0,5890486225480869\ldots
Se eu truncar para 6 casas decimais obtenho 0,589048. Se eu arredondar para 6 casas decimais obtenho 0,589049. Como o enunciado pede 6 casas decimais e as opções fornecidas contêm 0,589048 como alternativa, escolho a opção que corresponde ao valor com 6 casas decimais por truncamento (ou que coincide com a alternativa disponível).

Resposta

(c) 0,589048

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