Dada a tabela de valores da função ln x:
xi 0,40 0,50 0,70 0,80
ln xi -0,916 -0,693 -0,357 -0,223
Use interpolação polinomial para estimar o valor de 0,60.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente estimar (xi,ln xi):;(0.40,-0.916),;(0.50,-0.693),;(0.70,-0.357),;(0.80,-0.223) usando interpolação polinomial a partir dos pontos
Conteúdo: interpolação polinomial (vamos usar a forma de Newton com diferenças divididas).
O que precisamos:
  1. Montar a tabela de diferenças divididas.
  2. Escrever o polinômio de Newton de grau 3.
  3. Avaliar esse polinômio em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender diferenças divididas: são coeficientes que nos dão o polinômio incrementalmente.
Dados f[x0]=-0.916, f[x1]=-0.693, f[x2]=-0.357, f[x3]=-0.223 , f[x1,x0]=-0.693-(-0.916)0.50-0.40 =0.2230.10=2.23, , f[x2,x1]=-0.357-(-0.693)0.70-0.50 =0.3360.20=1.68, , f[x3,x2]=-0.223-(-0.357)0.80-0.70 =0.1340.10=1.34 e f[x2,x1,x0] =1.68-2.230.70-0.40 =-0.550.30approx -1.8333, , temos
  1. Zeroth-order (valores originais):
f[x3,x2,x1] =1.34-1.680.80-0.50 =-0.340.30approx -1.1333
  1. First-order:
f[x3,x2,x1,x0] =-1.1333-(-1.8333)0.80-0.40 =0.700.40=1.75
  1. Second-order:
  1. Third-order:

Passo 3

Agora montamos o polinômio de Newton de grau 3:
P3(x)=f[x0] +f[x1,x0](x-x0) +f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1) +f[x3,x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo os valores numéricos:
P3(x)=-0.916 +2.23,(x-0.40) -1.8333,(x-0.40)(x-0.50) +1.75,(x-0.40)(x-0.50)(x-0.70)

Passo 4

Bora avaliar em P3(0.60)approx -0.916+0.446-0.03667-0.0035=-0.51017 :
Somando tudo:

Resposta

(pela interpolação polinomial de grau 3).

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