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Justifique suas respostas. Boa Prova!
Obs: Utilize quatro casas decimais nas contas quando precisar.
2) (2,5 pontos) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=0^infty 2^n(x-4)^nraizn+4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty2^n,(x-4)^nraizn+4
Isso é série de potências, então o que precisamos é do teste da razão (ou de Cauchy) pra achar o raio , e depois testar os pontos extremos pra ver se a série converge lá também.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definimos
an = 2^n,(x-4)^nraizn+4
A razão geral é
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty 2^n+1|x-4|^n+1/raizn+5 2^n|x-4|^n /raizn+4 = limntoinfty2|x-4|;raizn+4n+5

Passo 3

Quando L = 2,|x-4| , 2,|x-4|<1 Longrightarrow |x-4|. Então
R = tfrac12
Pelo teste da razão, a série converge se , ou seja
Logo o raio de convergência é

Passo 4

Agora testamos o extremo esquerdo sumn=0^infty2^n,(-tfrac12)^nraizn+4 =sumn=0^infty(-1)^nraizn+4 .
Nesse caso , então a série vira
Isso é uma série alternante cujos termos em módulo são positivos, decrescentes e vão a zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge.

Passo 5

No extremo direito sumn=0^infty2^n,(tfrac12)^nraizn+4 =sumn=0^infty1raizn+4 , temos e a série fica
Isso é parecido com , que diverge (p-série com ). Então aqui diverge.

Resposta

Raio de convergência:
R = tfrac12
Intervalo de convergência:
l[,tfrac72,;tfrac92r)

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