1. Demostre que, para qualquer função linear, f(x)=A x+B ( A e B são coeficientes constantes), as diferenças divididas da segunda ordem são iguais a 0 . Isto é para quaisquer x_{0}, x_{1}, e x_{2} diferentes
f\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right]=0 .

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para qualquer função linear f(x)=A x+B com A e B constantes, as diferenças divididas de segunda ordem entre quaisquer três pontos distintos x_{0},x_{1},x_{2} são nulas. Dados fornecidos e o que precisamos mostrar:
  • Dados: a função f(x)=A x+B e três pontos distintos x_{0},x_{1},x_{2} (ou seja, x_{0}\neq x_{1}, x_{1}\neq x_{2}, x_{0}\neq x_{2}).
  • Pedido: provar que
f\left[x_{0},x_{1},x_{2}\right]=0.

Passo 2

Definição de diferenças divididas (para você decorar e poder usar na prova):
  • A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos x_i e x_j é a “variação média” da função entre esses pontos. Escrevemos
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i},
onde o denominador x_j-x_i é a distância entre os pontos (não nula porque os pontos são distintos).
  • A diferença dividida de segunda ordem para três pontos x_0,x_1,x_2 é a diferença entre duas diferenças divididas de primeira ordem, dividida pela distância entre o ponto mais à direita e o mais à esquerda:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Essas fórmulas são importantes: memorize-as ou deixe uma pequenina folha de cola mental — elas aparecem direto em provas.

Passo 3

Vamos calcular f nos pontos dados usando a expressão linear f(x)=A x+B. Isso é simples: substituímos x por x_0,x_1,x_2:
f(x_0)=A x_0 + B,
f(x_1)=A x_1 + B,
f(x_2)=A x_2 + B.
Observação didática: o termo B é uma constante que aparece em todos os valores; isso vai causar cancelamento quando formos às diferenças — essa é a intuição chave: uma constante não altera “inclinação média”.

Passo 4

Calcule agora a diferença dividida de primeira ordem entre x_0 e x_1. Usando a definição:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}
Substituindo os valores obtidos em f(x_1) e f(x_0):
f[x_0,x_1]=\frac{(A x_1 + B) - (A x_0 + B)}{x_1-x_0}.
Repare que B cancela:
f[x_0,x_1]=\frac{A x_1 - A x_0}{x_1-x_0}=\frac{A(x_1-x_0)}{x_1-x_0}.
Como x_1\neq x_0, podemos simplificar x_1-x_0 e obtemos
f[x_0,x_1]=A.
Comentário: isso significa que a diferença dividida de primeira ordem entre quaisquer dois pontos de uma reta é exatamente a inclinação A da reta — faz sentido: é a “inclinação média”, que para reta é constante.

Passo 5

De modo idêntico, calcule a diferença dividida de primeira ordem entre x_1 e x_2. Repetindo os passos do Passo 4 (substituindo x_0 por x_1 e x_1 por x_2):
f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{(A x_2 + B)-(A x_1 + B)}{x_2-x_1}=\frac{A(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=A.
Portanto as duas diferenças divididas de primeira ordem que aparecem na fórmula da segunda ordem são iguais entre si; ambas valem A.

Passo 6

Agora use a definição da diferença dividida de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Substitua f[x_1,x_2]=A e f[x_0,x_1]=A obtidos nos passos anteriores:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{A - A}{x_2-x_0}=\frac{0}{x_2-x_0}.
Como x_2\neq x_0, o denominador é diferente de zero, logo a fração vale
f[x_0,x_1,x_2]=0.
Intuição final: em uma função linear não há curvatura — as diferenças de inclinação entre intervalos são zero — então a “segunda diferença” desaparece.

Passo 7

Breve observação extra que costuma cair em provas e ajuda a generalizar: para um polinômio de grau n, as diferenças divididas de ordem n+1 são todas zero. No caso n=1 (reta), diferenças de segunda ordem (que é n+1) são zero. Isso explica por que obtivemos zero de forma mais conceitual.

Resposta

f[x_{0},x_{1},x_{2}]=0

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