- Demostre que, para qualquer função linear,
(
e
são coeficientes constantes), as diferenças divididas da segunda ordem são iguais a 0 . Isto é para quaisquer
, e
diferentes
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, para qualquer função linear
com
e
constantes, as diferenças divididas de segunda ordem entre quaisquer três pontos distintos
são nulas. Dados fornecidos e o que precisamos mostrar:
- Dados: a função
e três pontos distintos (ou seja, , , ). - Pedido: provar que
Passo 2
Definição de diferenças divididas (para você decorar e poder usar na prova):
- A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos
e é a “variação média” da função entre esses pontos. Escrevemos
onde o denominador
é a distância entre os pontos (não nula porque os pontos são distintos).
- A diferença dividida de segunda ordem para três pontos
é a diferença entre duas diferenças divididas de primeira ordem, dividida pela distância entre o ponto mais à direita e o mais à esquerda:
Essas fórmulas são importantes: memorize-as ou deixe uma pequenina folha de cola mental — elas aparecem direto em provas.
Passo 3
Vamos calcular
nos pontos dados usando a expressão linear
. Isso é simples: substituímos
por
:
Observação didática: o termo
é uma constante que aparece em todos os valores; isso vai causar cancelamento quando formos às diferenças — essa é a intuição chave: uma constante não altera “inclinação média”.
Passo 4
Calcule agora a diferença dividida de primeira ordem entre
e
. Usando a definição:
Substituindo os valores obtidos em
e
:
Repare que
cancela:
Como
, podemos simplificar
e obtemos
Comentário: isso significa que a diferença dividida de primeira ordem entre quaisquer dois pontos de uma reta é exatamente a inclinação
da reta — faz sentido: é a “inclinação média”, que para reta é constante.
Passo 5
De modo idêntico, calcule a diferença dividida de primeira ordem entre
e
. Repetindo os passos do Passo 4 (substituindo
por
e
por
):
Portanto as duas diferenças divididas de primeira ordem que aparecem na fórmula da segunda ordem são iguais entre si; ambas valem
.
Passo 6
Agora use a definição da diferença dividida de segunda ordem:
Substitua
e
obtidos nos passos anteriores:
Como
, o denominador é diferente de zero, logo a fração vale
Intuição final: em uma função linear não há curvatura — as diferenças de inclinação entre intervalos são zero — então a “segunda diferença” desaparece.
Passo 7
Breve observação extra que costuma cair em provas e ajuda a generalizar: para um polinômio de grau
, as diferenças divididas de ordem
são todas zero. No caso
(reta), diferenças de segunda ordem (que é
) são zero. Isso explica por que obtivemos zero de forma mais conceitual.