Dadas as funções
e
, calcule:
.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem duas funções de vetor em termos de
:
e
.
O que pedem é o limite quando do produto vetorial
.
Conteúdo envolvido: produto vetorial (cross-product) e limites.
Para resolver, vamos:
O que pedem é o limite quando
Conteúdo envolvido: produto vetorial (cross-product) e limites.
Para resolver, vamos:
- Montar a definição do produto vetorial em
. - Calcular o determinante componente a componente.
- Fazer o limite quando
.
Passo 2
Produto vetorial em
da forma
Aqui
são os vetores canônicos, e
.
Passo 3
Vamos expandir o determinante:
Calculemos cada pedacinho:
- Componente
:f(t)timesg(t) = l(t^3 - t^4,; -(t^4 - t^3),; t^3 - tr) . - Componente
: , mas lembrando o sinal “-” fica . - Componente
: .
Então
Passo 4
Reescrevendo pra evidenciar o fator
t^3 - t^4 = t^3(1 - t) = -t^3(t-1), -(t^4 - t^3)= -t^3(t-1), t^3 - t = t(t^2-1)=t(t-1)(t+1) :
Logo
Agora basta ver o limite
. Como todas as componentes têm um fator
, quando
isso vai a zero.