Dadas as funções lim t 1(f(t) times g(t)) e , calcule:
.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem duas funções de vetor em termos de :
e .
O que pedem é o limite quando do produto vetorial .
Conteúdo envolvido: produto vetorial (cross-product) e limites.
Para resolver, vamos:
  1. Montar a definição do produto vetorial em .
  2. Calcular o determinante componente a componente.
  3. Fazer o limite quando .

Passo 2

Produto vetorial em f(t)timesg(t) = i & j & k f1(t) & f2(t) & f3(t) g1(t) & g2(t) & g3(t) da forma
Aqui são os vetores canônicos, e

.

Passo 3

Vamos expandir o determinante:
ftimesg = i,(1cdot t^3 - t^2cdot t^2) - j,(tcdot t^3 - t^2cdot t) + k,(tcdot t^2 - 1cdot t)
Calculemos cada pedacinho:
  1. Componente f(t)timesg(t) = l(t^3 - t^4,; -(t^4 - t^3),; t^3 - tr) : .
  2. Componente : , mas lembrando o sinal “-” fica .
  3. Componente : .
Então

Passo 4

Reescrevendo pra evidenciar o fator t^3 - t^4 = t^3(1 - t) = -t^3(t-1), -(t^4 - t^3)= -t^3(t-1), t^3 - t = t(t^2-1)=t(t-1)(t+1) :
f(t)timesg(t) = l(-t^3(t-1),,-t^3(t-1),,t(t-1)(t+1)r)
Logo
Agora basta ver o limite . Como todas as componentes têm um fator , quando isso vai a zero.

Resposta

limtto1l(f(t)timesg(t)r) = (0,;0,;0)

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