Verifique se a função f(t) é contínua no ponto t0 em cada um dos seguintes casos:
t0=2 e .

Passo 1

Beleza, o que temos aqui? A gente quer verificar se a função vetor
vec f(t) ;=;gl(t,;t-1t+1,;2t+32tgr)
é contínua no ponto .
Conteúdo da matéria: continuidade de função vetorial e continuidade de funções racionais (divisão de polinômios).
O que vamos precisar:
  • Definição de continuidade em um ponto (pra vetor e componentes).
  • Saber que polinômios e funções racionais são contínuos onde o denominador não zera.

Passo 2

Definição de continuidade (explicando bem devagar):
Uma função vetorial limt to t0 vec f(t) ;=;vec f(t0) é contínua em limt to t0 vec f(t) =l(limtto t0 f1(t),,limtto t0 f2(t),,limtto t0 f3(t)r) se
E esse limite de vetor é só o vetor dos limites das componentes:
Então, pra mostrar continuidade, basta:
  1. Garantir que existe (nenhuma divisão por zero).
  2. Calcular esse valor.
  3. Calcular o limite de cada componente quando .
  4. Verificar se coincide com o valor em 2.

Passo 3

Primeiro, vamos ver se não dá divisão por zero ao substituir f2(2)=2-12+1=13 .
Componentes:
  1. f3(2)=2cdot2+32cdot2=74 . Tranquilo, em vec f(2)=l(2,tfrac13,tfrac74r) fica .
  2. . Em , o denominador . Então
  1. . Em , o denominador . Então
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Passo 4

Agora o limite quando limtto2vec f(t) =l(2,tfrac13,tfrac74r) . Cada componente é uma função polinomial ou racional sem buraco em , então dá pra simplesmente substituir:
  1. .
  2. .
  3. .
Juntando:

Resposta

Como , a função é contínua em .

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