Verifique se a função
é contínua no ponto
em cada um dos seguintes casos:
e
.
Passo 1
Beleza, o que temos aqui? A gente quer verificar se a função vetor
é contínua no ponto
.
Conteúdo da matéria: continuidade de função vetorial e continuidade de funções racionais (divisão de polinômios).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definição de continuidade em um ponto (pra vetor e componentes).
- Saber que polinômios e funções racionais são contínuos onde o denominador não zera.
Passo 2
Definição de continuidade (explicando bem devagar):
Uma função vetorial é contínua em
se
Uma função vetorial
E esse limite de vetor é só o vetor dos limites das componentes:
Então, pra mostrar continuidade, basta:
- Garantir que
existe (nenhuma divisão por zero). - Calcular esse valor.
- Calcular o limite de cada componente quando
. - Verificar se coincide com o valor em 2.
Passo 3
Primeiro, vamos ver se não dá divisão por zero ao substituir
.
Componentes:
Componentes:
-
. Tranquilo, em fica . -
. Em , o denominador . Então
-
. Em , o denominador . Então
Logo
Passo 4
Agora o limite quando
. Cada componente é uma função polinomial ou racional sem buraco em
, então dá pra simplesmente substituir:
-
. -
. -
.
Juntando:
Resposta
Como
, a função é contínua em
.