Dadas as funcoes reais f(x)=1x^2;
& f2(x)=1x^4 ; f3(x)=1x-1 ; f4(x)=3x^3-1 & f5(x)=x^4 ; f6(x)=x^2 e f7(x)=-1x^2
Calcule:
lim x 1^+(f3(x)-f4(x))

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular
limxto 1^+l(f3(x)-f4(x)r) onde f3(x)=1x-1 e f4(x)=3x^3-1
O conteúdo é limites de funções com forma indeterminada . Vamos precisar de:
  1. identificar a forma indefinida,
  2. colocar tudo num mesmo quociente,
  3. fatorar (diferença de cubos) e o numerador que aparecer,
  4. cancelar fatores e
  5. aplicar o limite de uma função racional contínua.

Passo 2

Vamos olhar o que acontece em cada parte quando :
  • porque o denominador vai a .
  • também , já que .
    Logo, temos um tipo , que é indeterminado. Precisamos manipular algebricamente antes de aplicar o limite.

Passo 3

Junta as duas frações num único quociente:
1x-1-3x^3-1 =x^3-1 - 3(x-1)(x-1)(x^3-1)
Aqui usamos a ideia de somar/subtrair frações: mesmo denominador é .

Passo 4

Agora vamos fatorar o numerador x^3 -1 -3x +3 = x^3 -3x +2 . Primeiro expande:
x^3-3x+2 = (x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)^2(x+2)
Note que x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) tem raiz em , pois . Então fatoramos por e achamos:
Também lembramos que

Passo 5

Substituindo na fração:
(x-1)^2(x+2)(x-1)l[(x-1)(x^2+x+1)r] =(x-1)^2(x+2)(x-1)^2,(x^2+x+1) =x+2x^2+x+1
Aí já não temos mais indeterminação, porque o fator problemático cancelou.

Passo 6

Agora é só calcular o limite de uma função racional contínua em limxto1^+x+2x^2+x+1 =1+21^2+1+1 =33 =1 :

Resposta

limxto1^+l(f3(x)-f4(x)r)=1

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