Seja y(x)=f(x)=x^{3}+x+4 achar a diferença dividida de 3^{a} ordem e uma de 2^{a} ordem da tabela a seguir
\left[\begin{array}{ccc} i & x_{i} & y_{i} \\\\ 0 & 1,0 & 6,0 \\\\ 1 & 2,0 & 14,0 \\\\ 2 & 3,0 & 34,0 \\\\ 3 & 4,0 & 72,0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a diferença dividida de 3^{\text{a}} ordem e uma diferença dividida de 2^{\text{a}} ordem usando a tabela fornecida. Os pontos da tabela são, explicitamente:
\begin{array}{lll} i & x_i & y_i \\\\ 0 & 1,0 & 6,0 \\\\ 1 & 2,0 & 14,0 \\\\ 2 & 3,0 & 34,0 \\\\ 3 & 4,0 & 72,0 \end{array}
Ou seja, os pares (x_i,y_i) são
(x_0,y_0)=(1,0,\,6,0),\quad (x_1,y_1)=(2,0,\,14,0),\quad (x_2,y_2)=(3,0,\,34,0),\quad (x_3,y_3)=(4,0,\,72,0).
Vou calcular uma diferença dividida de 2ª ordem (escolhendo a que começa em x_0) e a diferença dividida de 3ª ordem que envolve x_0,x_1,x_2,x_3.

Passo 2

O que é uma diferença dividida e qual a fórmula básica? Vou explicar bem mastigado.
  • A diferença dividida de 1ª ordem entre x_i e x_{i+1} é a “inclinação” entre os pontos e é dada por
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
Aqui f(x_i) é o valor da função no ponto x_i; o numerador é a diferença entre as ordenadas e o denominador é a diferença entre as abscissas.
  • A diferença dividida de 2ª ordem em x_i,x_{i+1},x_{i+2} usa duas diferenças de 1ª ordem:
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}.
Note que no denominador aparece x_{i+2}-x_i: estamos “dividindo a diferença das inclinações” pela largura total entre x_i e x_{i+2}.
  • A diferença dividida de 3ª ordem em x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3} é
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}] =\frac{f[x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}]-f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]}{x_{i+3}-x_i}.
Isso é análogo: diferença entre duas diferenças de 2ª ordem, dividida pela largura total x_{i+3}-x_i.
Com essas fórmulas, calculamos passo a passo.

Passo 3

Calcular todas as diferenças divididas de 1ª ordem entre pontos consecutivos (porque elas entram nas fórmulas seguintes).
Usando os dados da tabela:
Para i=0:
f[x_0,x_1]=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} =\frac{14,0-6,0}{2,0-1,0} =\frac{8,0}{1,0}=8,0.
Para i=1:
f[x_1,x_2]=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{34,0-14,0}{3,0-2,0} =\frac{20,0}{1,0}=20,0.
Para i=2:
f[x_2,x_3]=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2} =\frac{72,0-34,0}{4,0-3,0} =\frac{38,0}{1,0}=38,0.
Então as diferenças de 1ª ordem são 8,0, 20,0 e 38,0.

Passo 4

Agora calculo uma diferença dividida de 2ª ordem — escolhi f[x_0,x_1,x_2] (a que começa em x_0).
Pela fórmula:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Substituindo os valores que já achei:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{20,0-8,0}{3,0-1,0}=\frac{12,0}{2,0}=6,0.
Portanto a diferença dividida de 2ª ordem escolhida é 6,0.
(Apenas por curiosidade / verificação, se eu calculasse f[x_1,x_2,x_3] teria
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{38,0-20,0}{4,0-2,0}=\frac{18,0}{2,0}=9,0,
que será útil no passo seguinte.)

Passo 5

Agora calculo a diferença dividida de 3ª ordem f[x_0,x_1,x_2,x_3].
Usando a fórmula:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}.
Substituindo f[x_1,x_2,x_3]=9,0 (ver passo anterior) e f[x_0,x_1,x_2]=6,0:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{9,0-6,0}{4,0-1,0}=\frac{3,0}{3,0}=1,0.
Então a diferença dividida de 3ª ordem vale 1,0.

Resposta

f[x_0,x_1,x_2]=6,0
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=1,0

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