Resolver
Seja
com
e solução
achar
e
Seja
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
, e fornece a forma geral da solução
O que precisamos encontrar é:
- o valor da constante
que satisfaz ; - o valor da primitiva
.
As informações relevantes são: a forma da solução indicada e a condição inicial
. Não usamos nada além disso.
Passo 2
Vamos calcular a primitiva
usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções escolhidas de forma conveniente. Aqui escolhemos:
Então
Aplicando a fórmula de partes, obtemos a primitiva:
Passo 3
Aplicando a fórmula:
Calcule a última integral:
Portanto uma primitiva geral é
onde
é constante arbitrária. Factorando
fica mais compacto:
Passo 4
Agora voltamos à solução geral dada:
Substituindo a primitiva encontrada (tomando para simplicidade
, pois esse
multiplicado por
gera uma constante do tipo
que pode ser absorvida em
), obtemos
Passo 5
Use a condição inicial
. Ao colocar
em
:
Como
, temos
Calcule
:
então