Resolver
Seja y^{\prime}+19 y=x com y(0)=1 e solução y(x)=e^{-19 x} \int\left(x e^{19 x} d x\right)+C e^{-19 x} achar C e \int\left(x e^{19 x} d x\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x)+19y(x)=x,
com condição inicial y(0)=1, e fornece a forma geral da solução
y(x)=e^{-19x}\int\bigl(xe^{19x}\,dx\bigr)+C e^{-19x}.
O que precisamos encontrar é:
  • o valor da constante C que satisfaz y(0)=1;
  • o valor da primitiva \displaystyle \int x e^{19x}\,dx.
As informações relevantes são: a forma da solução indicada e a condição inicial y(0)=1. Não usamos nada além disso.

Passo 2

Vamos calcular a primitiva \displaystyle \int x e^{19x}\,dx usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas de forma conveniente. Aqui escolhemos:
u = x \quad\text{e}\quad dv = e^{19x}\,dx.
Então
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int e^{19x}\,dx = \frac{e^{19x}}{19}.
Aplicando a fórmula de partes, obtemos a primitiva:

Passo 3

Aplicando a fórmula:
\int x e^{19x}\,dx = uv - \int v\,du = x\cdot\frac{e^{19x}}{19} - \int \frac{e^{19x}}{19}\,dx.
Calcule a última integral:
\int \frac{e^{19x}}{19}\,dx = \frac{1}{19}\int e^{19x}\,dx = \frac{1}{19}\cdot\frac{e^{19x}}{19} = \frac{e^{19x}}{19^2}.
Portanto uma primitiva geral é
\int x e^{19x}\,dx = \frac{x e^{19x}}{19} - \frac{e^{19x}}{19^2} + K,
onde K é constante arbitrária. Factorando e^{19x} fica mais compacto:
\int x e^{19x}\,dx = e^{19x}\!\left(\frac{x}{19} - \frac{1}{19^2}\right) + K.

Passo 4

Agora voltamos à solução geral dada:
y(x)=e^{-19x}\int\bigl(xe^{19x}\,dx\bigr)+C e^{-19x}.
Substituindo a primitiva encontrada (tomando para simplicidade K=0, pois esse K multiplicado por e^{-19x} gera uma constante do tipo K e^{-19x} que pode ser absorvida em C e^{-19x}), obtemos
y(x)=e^{-19x}\cdot e^{19x}\!\left(\frac{x}{19}-\frac{1}{19^2}\right)+C e^{-19x} = \frac{x}{19}-\frac{1}{19^2}+C e^{-19x}.

Passo 5

Use a condição inicial y(0)=1. Ao colocar x=0 em y(x):
y(0)=\frac{0}{19}-\frac{1}{19^2}+C e^{0}= -\frac{1}{19^2}+C.
Como y(0)=1, temos
1 = -\frac{1}{19^2}+C \quad\Rightarrow\quad C = 1 + \frac{1}{19^2}.
Calcule 19^2:
19^2 = 361,
então
C = 1 + \frac{1}{361} = \frac{361}{361}+\frac{1}{361}=\frac{362}{361}.

Resposta

\displaystyle \int x e^{19x}\,dx = e^{19x}\!\left(\frac{x}{19}-\frac{1}{19^2}\right)+K (constante K arbitrária).
\displaystyle C=\frac{362}{361}

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