Dado um conjunto de pontos (xi, yi): i=1, ldots, n :
(a) Determine o conjunto de equações normais que permita fazer o ajuste u(x)=a cos (x)+b e^x+c.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar o sistema de equações normais pra ajustar por mínimos quadrados uma função do tipo
u(x) = acos(x) + b e^x + c
a partir dos dados .
Conteúdo: ajuste linear em parâmetros via mínimos quadrados. Vamos precisar escrever o erro quadrático, diferenciar em relação a e igualar a zero.

Passo 2

Definimos o erro total (função objetivo)
S(a,b,c) ;=; sumi=1^n l(acos xi + b e^xi + c - yir)^2
Para achar o melhor , fazemos , e .

Passo 3

Calculando partial Spartial a = 2sumi=1^n l(acos xi + b e^xi + c - yir),cos xi stackrel!=0 :
asumi=1^n cos^2 xi ;+; bsumi=1^n e^xicos xi ;+; csumi=1^n cos xi ;=;sumi=1^n yicos xi
Isso dá a equação

Passo 4

Calculando partial Spartial b = 2sumi=1^n l(acos xi + b e^xi + c - yir),e^xi stackrel!=0, :
asumi=1^n cos xi,e^xi ;+; bsumi=1^n e^2xi ;+; csumi=1^n e^xi ;=;sumi=1^n yi,e^xi
resultando em

Passo 5

Por fim, partial Spartial c = 2sumi=1^n l(acos xi + b e^xi + c - yir) stackrel!=0, :
asumi=1^n cos xi ;+; bsumi=1^n e^xi ;+; c,n ;=;sumi=1^n yi
que dá

Resposta

O sistema de equações normais é:
asumi=1^n cos^2 xi ;+; bsumi=1^n e^xicos xi ;+; csumi=1^n cos xi ;=;sumi=1^n yicos xi,[1em] asumi=1^n cos xi,e^xi ;+; bsumi=1^n e^2xi ;+; csumi=1^n e^xi ;=;sumi=1^n yi,e^xi,[1em] asumi=1^n cos xi ;+; bsumi=1^n e^xi ;+; c,n ;=;sumi=1^n yi

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