(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.
(b) Usando o polinômio de Taylor para
, substitua
para obter uma aproximação para
. Compare o resultado com (a).
(b) Usando o polinômio de Taylor para
Passo 1
Beleza, o exercício é o seguinte:
a) A gente precisa achar os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função
a) A gente precisa achar os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função
em torno de
b) Depois, usar o polinômio de Taylor de
Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin. Vamos precisar da fórmula
no nosso caso
Passo 2
Lembra da fórmula de Maclaurin (
):
Precisamos de
1)
2)
3)
4)
5)
Passo 3
Agora montamos
:
- Grau 1:
- Grau 2:
- Grau 3:
- Grau 4:
$$P_4(x)=1+0+ \frac{2}{2}x2+0+\frac{f{(4)}(0)}{4!}x^4=1+x^2+\frac{12}{24}x^4 =1+x^2+\frac{x^4}{2}.$$
Passo 4
Agora faz o que (b) pede: a expansão de
em torno de
é
Se substituímos
$$e{x2}=1+x2+\frac{(x2)2}{2!}+\frac{(x2)3}{3!}+\frac{(x2)^4}{4!}+\cdots
=1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{24}+\cdots.$$
Truncando até o grau 4, dá exatamente
que bate certinho com nosso
Resposta
Polinômios de Taylor para
em torno de 0:
Uso da série de
com
gera a mesma aproximação, então tudo confere.