(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função f(x)=e^x^2, expandido em torno de a=0.
(b) Usando o polinômio de Taylor para e^t, substitua t=x^2 para obter uma aproximação para e^x^2. Compare o resultado com (a).

Passo 1

Beleza, o exercício é o seguinte:
a) A gente precisa achar os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função
f(x)=e^x^2
em torno de Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!(x-a)^k.
b) Depois, usar o polinômio de Taylor de (em torno de zero), substituir e comparar com o que achamos em (a).
Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin. Vamos precisar da fórmula

no nosso caso . Também vamos usar derivadas de e a expansão de . Tranquilo? Bora lá!

Passo 2

Lembra da fórmula de Maclaurin ( Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!x^k):

Precisamos de e .
1) .
2) .
3) .
4) .
5) .

Passo 3

Agora montamos P1(x)=f(0)+f'(0)x=1+0cdot x=1:
  • Grau 1: P2(x)=1+0cdot x+f''(0)2!x^2=1+22x^2=1+x^2
    - Grau 2:
    P3(x)=1+0cdot x+22x^2+0cdot x^3=1+x^2(mesma coisa do grau 2, já que f'''(0)=0)
  • Grau 3: P4(x)=1+0+ 22x^2+0+f^(4)(0)4!x^4 =1+x^2+1224x^4 =1+x^2+x^42á
    - Grau 4:
    $$P_4(x)=1+0+ \frac{2}{2}x2+0+\frac{f{(4)}(0)}{4!}x^4
         =1+x^2+\frac{12}{24}x^4
         =1+x^2+\frac{x^4}{2}.$$

Passo 4

Agora faz o que (b) pede: a expansão de e^t=1+t+t^22!+t^33!+t^44!+cdots em torno de e^x^2=1+x^2+(x^2)^22!+(x^2)^33!+(x^2)^44!+cdots =1+x^2+x^42+x^66+x^824+cdots é
1+x^2+x^42,
Se substituímos , vira
$$e{x2}=1+x2+\frac{(x2)2}{2!}+\frac{(x2)3}{3!}+\frac{(x2)^4}{4!}+\cdots
    =1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{24}+\cdots.$$  
Truncando até o grau 4, dá exatamente

que bate certinho com nosso . E, é claro, nos graus 1 e 2 também coincide.

Resposta

Polinômios de Taylor para em torno de 0:
Uso da série de com gera a mesma aproximação, então tudo confere.

Exercícios relacionados