(opcional) Responda as questões abaixo:
(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para f(t)=1 /(1+t^2), em torno do ponto a=0. (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para 1 /(1-x) desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto x=-t^2.)
(b) Obtenha uma aproximação para g(x)=tan ^-1(x). Faça isso integrando o resultado do item (a), já que:
tan ^-1(x)=integral0^x f(t) d t=integral0^x 11+t^2 d t
© Sabendo que tan ^-1(1)=pi / 4, use a aproximação acima para estabelecer que
pi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12 k-1
para n grande.
(d) Determine quantos termos da fórmula do item © seria suficiente para obter uma aproximação de pi com erro inferior a 10^-10. Esta é uma boa forma de determinar o número pi ?

Passo 1

Beleza, olha só o enunciado:
(a) Queremos achar a expansão em séries de Taylor de
f(t)=11+t^2
em torno de 11-x=sumk=0^inftyx^k (para (|x|<1)) , usando o fato de que
pi=4sumk=1^infty(-1)^k+12k-1
(b) Depois a gente integra esse resultado de 0 até para obter
.
© Usando , mostraremos que
(d) Por fim, estimamos quantos termos desse somatório precisamos para ter erro menor que e comentamos se isso é prático para calcular .
Conteúdo: séries de Taylor/geométricas, integração termo a termo e teste de série alternada. Bora resolver sem pular nada!

Passo 2

Teoria usada: para 11-x=sumk=0^inftyx^k ,
11-(-t^2) =11+t^2 =sumk=0^infty(-t^2)^k =sumk=0^infty(-1)^k,t^2k
Aqui em vez de vamos usar . Então, sempre que ,
Pronto, essa é a expansão de em torno de 0.

Passo 3

Agora usamos integração termo a termo (válido para séries uniformemente convergentes em tan^-1(x) =integral0^xf(t),dt =integral0^xsumk=0^infty(-1)^k,t^2k,dt =sumk=0^infty(-1)^kintegral0^xt^2k,dt ):
integral0^xt^2k,dt=x^2k+12k+1
Cada integral é
tan^-1(x) =sumk=0^infty(-1)^kx^2k+12k+1
Logo

Passo 4

Sabendo pi4 =sumk=0^infty(-1)^k1^2k+12k+1 =sumk=0^infty(-1)^k2k+1 , basta pôr pi =4sumk=1^infty(-1)^,k+12k-1 na série:
Se você preferir indexar a partir de : troque e obtém

Passo 5

Para séries alternadas que decrescem em módulo, o erro ao truncar depois de |Rn|<= 4cdot12(n+1)-1 =42n+1 termos é menor que o valor absoluto do próximo termo. Aqui, truncando em 2n+1>4times10^10 Longrightarrow n>4cdot10^10-12approx2times10^10 , o resto satisfaz
Queremos .
Resolvendo:
Ou seja, precisamos de cerca de bilhões de termos pra garantir erro abaixo de .
Isso é totalmente impraticável para calcular em computador hoje em dia (existem métodos muito mais eficientes).

Resposta

(a)
(b)
©
(d) Para erro são necessários cerca de termos. Não é um método prático para .

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