(opcional) Responda as questões abaixo:
(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para
, em torno do ponto
. (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para
desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto
.)
(b) Obtenha uma aproximação para
. Faça isso integrando o resultado do item (a), já que:
© Sabendo que
, use a aproximação acima para estabelecer que
para
grande.
(d) Determine quantos termos da fórmula do item © seria suficiente para obter uma aproximação de
com erro inferior a
. Esta é uma boa forma de determinar o número
?
(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para
(b) Obtenha uma aproximação para
(d) Determine quantos termos da fórmula do item © seria suficiente para obter uma aproximação de
Passo 1
Beleza, olha só o enunciado:
(a) Queremos achar a expansão em séries de Taylor de
(a) Queremos achar a expansão em séries de Taylor de
em torno de
, usando o fato de que
(b) Depois a gente integra esse resultado de 0 até
para obter
.
© Usando , mostraremos que
© Usando
(d) Por fim, estimamos quantos termos desse somatório precisamos para ter erro menor que
e comentamos se isso é prático para calcular
.
Conteúdo: séries de Taylor/geométricas, integração termo a termo e teste de série alternada. Bora resolver sem pular nada!
Passo 2
Teoria usada: para
,
Aqui em vez de
vamos usar
. Então, sempre que
,
Pronto, essa é a expansão de
em torno de 0.
Passo 3
Agora usamos integração termo a termo (válido para séries uniformemente convergentes em
):
Cada integral é
Logo
Passo 4
Sabendo
, basta pôr
na série:
Se você preferir indexar a partir de
: troque
e obtém
Passo 5
Para séries alternadas que decrescem em módulo, o erro ao truncar depois de
termos é menor que o valor absoluto do próximo termo. Aqui, truncando em
, o resto
satisfaz
Queremos
.
Resolvendo:
Resolvendo:
Ou seja, precisamos de cerca de
bilhões de termos pra garantir erro abaixo de
.
Isso é totalmente impraticável para calcular
em computador hoje em dia (existem métodos muito mais eficientes).
Resposta
(a)
(b)
©
(d) Para erro são necessários cerca de
termos. Não é um método prático para
.
(b)
©
(d) Para erro