Dado a in R, com 0, seja xn=1+a+a^2+cdots+a^n, forall n in N. Responda os seguintes itens:
(a) Verifique que essa sequência é monótona.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma sequência
xn = 1 + a + a^2 + cdots + a^n,
onde é um número real tal que . O que a gente precisa mostrar é que essa sequência é monótona (ou seja, que ela é crescente ou decrescente – no caso, vamos ver que é crescente).
Para isso, vamos usar:
  • A definição de sequência monótona crescente: para todo .
  • A ideia de olhar a diferença .

Passo 2

Calculemos a diferença entre dois termos consecutivos:
xn+1 - xn = l(1 + a + a^2 + cdots + a^n + a^n+1r) - l(1 + a + a^2 + cdots + a^nr)
Repare que tudo até xn+1 - xn = a^n+1 cancela, sobrando só:

Passo 3

Agora, pela hipótese a^n+1 > 0 para todo ninN , qualquer potência de xn+1 - xn = a^n+1 > 0, também é positiva:
Isso significa que
ou seja, .

Resposta

A sequência é monótona crescente, pois para todo .

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