Dado um intervalo [a, b] \subset \mathbb{R}, então existe uma função f(x) contínua neste intervalo tal que \left|E_{T}\right|<\left|E_{S}\right|, onde E_{T}=\int_{a}^{b} f(x) d x-I_{T} (sendo I_{T} a aproximação de \int_{a}^{b} f(x) d x dada pela regra dos Trapézios) e E_{S}=\int_{a}^{b} f(x) d x-I_{S} (sendo I_{S} a aproximação de \int_{a}^{b} f(x) d x dada pela regra 1 / 3 de Simpson).
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a existência de uma função contínua f\colon[a,b]\to\mathbb{R} tal que o erro da regra dos Trapézios seja menor em valor absoluto do que o erro da regra de Simpson, isto é,
\bigl|E_{T}\bigr|<\bigl|E_{S}\bigr|.
Para isso, vamos usar as fórmulas padrões de erro, que expressam E_{T} e E_{S} em função de derivadas de f.
Passo 2
Lembrando os erros numa única sub-intervalo [a,b]: