• Dado um intervalo [a, b] \subset \mathbb{R}, então existe uma função f(x) contínua neste intervalo tal que \left|E_{T}\right|<\left|E_{S}\right|, onde E_{T}=\int_{a}^{b} f(x) d x-I_{T} (sendo I_{T} a aproximação de \int_{a}^{b} f(x) d x dada pela regra dos Trapézios) e E_{S}=\int_{a}^{b} f(x) d x-I_{S} (sendo I_{S} a aproximação de \int_{a}^{b} f(x) d x dada pela regra 1 / 3 de Simpson).

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a existência de uma função contínua f\colon[a,b]\to\mathbb{R} tal que o erro da regra dos Trapézios seja menor em valor absoluto do que o erro da regra de Simpson, isto é,
\bigl|E_{T}\bigr|<\bigl|E_{S}\bigr|.
Para isso, vamos usar as fórmulas padrões de erro, que expressam E_{T} e E_{S} em função de derivadas de f.

Passo 2

Lembrando os erros numa única sub-intervalo [a,b]:
E_{T}=-\frac{(b-a)^{3}}{12}\,f''(\xi) \quad\text{e}\quad E_{S}=-\frac{(b-a)^{5}}{2880}\,f^{(4)}(\eta)
para alguns \xi,\eta\in(a,b). Logo, em valor absoluto,
\bigl|E_{T}\bigr|\le \frac{(b-a)^{3}}{12}\,\max_{[a,b]}|f''| \quad\text{e}\quad \bigl|E_{S}\bigr|\le \frac{(b-a)^{5}}{2880}\,\max_{[a,b]}|f^{(4)}|.

Passo 3

Escolhemos
f(x)=\sin(Kx),
com K>0. Então
f''(x)=-K^{2}\sin(Kx), \quad f^{(4)}(x)=K^{4}\sin(Kx),
portanto
\max_{[a,b]}|f''|=K^{2}, \quad \max_{[a,b]}|f^{(4)}|=K^{4}.

Passo 4

Substituindo nos limites dos erros, obtemos
\bigl|E_{T}\bigr|\le \frac{(b-a)^{3}}{12}\,K^{2}, \quad \bigl|E_{S}\bigr|\le \frac{(b-a)^{5}}{2880}\,K^{4}.
A condição \bigl|E_{T}\bigr|<\bigl|E_{S}\bigr| segue se
\frac{(b-a)^{3}}{12}K^{2} < \frac{(b-a)^{5}}{2880}K^{4}.

Passo 5

Simplificando a desigualdade:
\frac{(b-a)^{3}}{12}K^{2} < \frac{(b-a)^{5}}{2880}K^{4} \quad\Longrightarrow\quad 240<(b-a)^{2}K^{2} \quad\Longrightarrow\quad K>\frac{\sqrt{240}}{b-a}.
Basta então escolher qualquer K que satisfaça
K>\frac{\sqrt{240}}{\,b-a\,},
para garantir \bigl|E_{T}\bigr|<\bigl|E_{S}\bigr|.

Resposta

Por exemplo, a função
f(x)=\sin\!\bigl(Kx\bigr)
com
K>\frac{\sqrt{240}}{\,b-a\,}
é contínua em [a,b] e satisfaz \bigl|E_{T}\bigr|<\bigl|E_{S}\bigr|.

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