Use a regra dos trapézios repetida, com o menor n (número de subintervalo) possível, para calcular uma aproximação da integral \int_{-1,33}^{-1,33+1} x e^{x^{3}} \mathrm{dx} de modo a garantir um erro inferior a 0,005.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
\int_{-1{,}33}^{-1{,}33+1} x\,e^{x^3}\,\mathrm{d}x
usando a regra dos trapézios composta com o menor número de subintervalos n que garanta erro <0,005. Vamos precisar de:
  1. Fórmula da regra dos trapézios composta:
T_n = \frac{h}{2}\Bigl(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Bigr),
onde h=(b-a)/n e x_i = a+i\,h.
2. Estimativa de erro da regra dos trapézios:
\bigl|E_T\bigr|\le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\max_{x\in[a,b]}\bigl|f''(x)\bigr|.

Passo 2

Definimos f(x)=x\,e^{x^3}. Calculamos as derivadas até a segunda para usar na cota de erro.
f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(xe^{x^3}\bigr) =e^{x^3}+x\cdot e^{x^3}\cdot 3x^2 =e^{x^3}\bigl(1+3x^3\bigr),
f''(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl[e^{x^3}(1+3x^3)\Bigr] =e^{x^3}\bigl(3x^2\bigr)(1+3x^3)+e^{x^3}\cdot 9x^2 =e^{x^3}\bigl(12x^2+9x^5\bigr).

Passo 3

No intervalo [-1{,}33,\,-0{,}33] maximizamos \lvert f''(x)\rvert em x=-1{,}33.
x=-1{,}33\;\Longrightarrow\;x^3\approx -2{,}3526,\; e^{x^3}\approx0{,}0953,\; 12x^2+9x^5\approx -16{,}285,
\bigl|f''(-1{,}33)\bigr| \approx 0{,}0953\times16{,}285\approx1{,}55.
Logo podemos usar M=1,55 na cota de erro.

Passo 4

A cota de erro exige
\frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,M =\frac{1^3}{12\,n^2}\,1{,}55 \le0{,}005 \quad\Longrightarrow\quad n^2\ge\frac{1{,}55}{12\times0{,}005}=\frac{1{,}55}{0{,}06}\approx25{,}83
\Longrightarrow n\ge\sqrt{25{,}83}\approx5{,}08,
portanto o menor n inteiro é n=6.

Passo 5

Com n=6, temos
a=-1{,}33,\quad b=-0{,}33,\quad h=\frac{b-a}{6}=\frac{1}{6}\approx0{,}166667,
nós definimos x_i=a+i\,h para i=0,\dots,6 e calculamos
f(x_i)=x_i\,e^{x_i^3}.
Os valores aproximados são:
\begin{aligned} x_0&=-1{,}330,\quad f_0\approx-0{,}1267,\\\ x_1&=-1{,}1633,\quad f_1\approx-0{,}2411,\\\ x_2&=-0{,}9966,\quad f_2\approx-0{,}3705,\\\ x_3&=-0{,}8299,\quad f_3\approx-0{,}4679,\\\ x_4&=-0{,}6632,\quad f_4\approx-0{,}4953,\\\ x_5&=-0{,}4965,\quad f_5\approx-0{,}4392,\\\ x_6&=-0{,}3300,\quad f_6\approx-0{,}3184. \end{aligned}

Passo 6

Aplicando a fórmula do trapézio composto:
T_6 = \frac{h}{2}\Bigl(f_0+2\sum_{i=1}^5 f_i +f_6\Bigr) =0{,}083333\bigl(-0{,}1267+2(-2{,}0140)-0{,}3184\bigr) \approx-0{,}373.

Resposta

A aproximação com erro <0,005 é
\int_{-1{,}33}^{-0{,}33}}x\,e^{x^3}\,\mathrm{d}x\approx -0{,}373,
obtida com n=6.

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