- Se
é contínua em
e
então, a aproximação obtida para
pela regra dos Trapézios é menor do que o valor exato de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua em
e
para todo
, e pede para mostrar que a aproximação pela regra dos trapézios
é menor do que o valor exato
Passo 2
Vamos comparar
com a integral do polinômio interpolador de grau 1 em
e
. Definimos
Por construção,
Passo 3
Pela fórmula do resto da interpolação de Taylor com base nos nós
e
, existe para cada
um ponto
tal que
Passo 4
Integramos essa expressão de
até
:
Como
é contínua em
, pelo teorema do valor médio para integrais existe
tal que
E calcula-se
Logo
Passo 5
Como
, o produto
é estritamente positivo. Portanto
Resposta
A aproximação pela regra dos trapézios é menor do que o valor exato de
.