• Se f^{\prime \prime}(x) é contínua em [a, b] e f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in[a, b] então, a aproximação obtida para \int_{a}^{b} f(x) d x pela regra dos Trapézios é menor do que o valor exato de \int_{a}^{b} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado diz que f''(x) é contínua em [a,b] e f''(x)<0 para todo x\in[a,b], e pede para mostrar que a aproximação pela regra dos trapézios
T = \frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr)
é menor do que o valor exato
\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Passo 2

Vamos comparar \int_{a}^{b}f(x)\,dx com a integral do polinômio interpolador de grau 1 em a e b. Definimos
P_{1}(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a).
Por construção,
\int_{a}^{b}P_{1}(x)\,dx =\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr)=T.

Passo 3

Pela fórmula do resto da interpolação de Taylor com base nos nós a e b, existe para cada x\in[a,b] um ponto \xi(x)\in[a,b] tal que
f(x)-P_{1}(x) =\frac{f''\bigl(\xi(x)\bigr)}{2}\,(x-a)\,(x-b) =-\frac{(x-a)\,(b-x)}{2}\;f''\bigl(\xi(x)\bigr).

Passo 4

Integramos essa expressão de a até b:
\int_{a}^{b}f(x)\,dx -\int_{a}^{b}P_{1}(x)\,dx =-\frac{1}{2}\int_{a}^{b}(x-a)(b-x)\,f''\bigl(\xi(x)\bigr)\,dx.
Como f'' é contínua em [a,b], pelo teorema do valor médio para integrais existe \xi^*\in[a,b] tal que
\int_{a}^{b}(x-a)(b-x)\,f''\bigl(\xi(x)\bigr)\,dx =f''(\xi^*)\int_{a}^{b}(x-a)(b-x)\,dx.
E calcula-se
\int_{a}^{b}(x-a)(b-x)\,dx =\frac{(b-a)^3}{6}.
Logo
\int_{a}^{b}f(x)\,dx -T =-\frac{1}{2}\,f''(\xi^*)\;\frac{(b-a)^3}{6} =-\frac{(b-a)^3}{12}\;f''(\xi^*).

Passo 5

Como f''(\xi^*)<0, o produto -\tfrac{(b-a)^3}{12}\,f''(\xi^*) é estritamente positivo. Portanto
\int_{a}^{b}f(x)\,dx - T > 0 \quad\Longrightarrow\quad T < \int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Resposta

A aproximação pela regra dos trapézios é menor do que o valor exato de \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

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