• Se f(x) é um polinômio de grau 2 , então o erro cometido ao aproximarmos \int_{a}^{b} f(x) d x pela regra dos Trapézios é igual a zero.

Passo 1

O enunciado afirma que, se f(x) é um polinômio de grau 2, então ao aproximarmos
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
pela regra do trapézio simples a “erro” seria zero. O conteúdo aqui é a fórmula de erro da regra do trapézio (Newton–Cotes de grau 1). Para verificar, vamos usar a expressão geral do erro e depois um contraexemplo concreto.

Passo 2

A regra do trapézio simples diz que a aproximação é
T(f)=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).
E a fórmula de erro para alguma \xi\in(a,b) é
E=\int_{a}^{b}f(x)\,dx - T(f) = -\frac{(b-a)^{3}}{12}\,f''(\xi).
Ou seja, o erro depende de f''(\xi).

Passo 3

Se f é polinômio de grau 2, então f''(x) é constante (não nula, salvo se f for linear). Logo
f''(\xi)=\text{constante}\neq0
implica
E = -\frac{(b-a)^{3}}{12}\,f''(\xi)\neq0.
Portanto, em geral o erro não se anula.

Passo 4

Como contraexemplo, tome f(x)=x^{2} no intervalo [0,1].
O valor exato é
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \frac{1}{3},
já a regra do trapézio dá
T(f)=\frac{1-0}{2}\bigl(f(0)+f(1)\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(0+1\bigr)=\frac{1}{2}.
A diferença é
E = \frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}\neq0.

Resposta

A afirmação é falsa.

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