Dado \mathrm{I}=\int_{1}^{9} \sqrt{6 x-5} d x. Pede-se:
a. Calcular I empregando a regra dos trapézios repetida com 8 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro;
c. Quantos subintervalos devemos ter para que o erro seja menor do que 10^{-4} ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a integral
\mathrm{I}=\int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx.
As perguntas são:
  • (a) Calcular \mathrm{I} empregando a regra dos trapézios repetida com 8 subintervalos.
  • (b) Determinar uma estimativa para o erro (do item (a)).
  • (c) Determinar quantos subintervalos são necessários para que o erro seja menor que 10^{-4}.
Informações importantes dadas pelo enunciado que usaremos:
  • Intervalo de integração: [a,b]=[1,9].
  • Número de subintervalos para (a): n=8.
  • A função integranda é f(x)=\sqrt{6x-5}.

Passo 2

Vou explicar a regra dos trapézios composta (repetida) de forma didática.
Se dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais de largura
h=\frac{b-a}{n},
os nós são \,x_0=a,x_1=a+h,\dots,x_n=b. A fórmula composta do trapézio é
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Essa fórmula vem de aproximar f por retas em cada subintervalo e somar as áreas dos trapézios formados.
Também precisamos da fórmula de estimativa do erro (limite superior) da regra dos trapézios composta. Se f tem segunda derivada contínua em [a,b] e definirmos
M_2=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|,
então o erro E_T= \mathrm{I}-T_n satisfaz o majorante
|E_T|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\,M_2.
Vou usar essa fórmula no item (b) e no (c). Agora calculamos os termos para o nosso problema.

Passo 3

Calculemos h e os nós para n=8:
h=\frac{9-1}{8}=\frac{8}{8}=1.
Logo os nós são os inteiros \,x_i=1,2,\dots,9.
A função é f(x)=\sqrt{6x-5}=(6x-5)^{1/2}. Vou calcular f em cada nó (faço as contas passo a passo):
\begin{aligned} f(1)&=\sqrt{6\cdot1-5}=\sqrt{1}=1,\\[4pt] f(2)&=\sqrt{6\cdot2-5}=\sqrt{7}\approx 2{,}645751311,\\[4pt] f(3)&=\sqrt{6\cdot3-5}=\sqrt{13}\approx 3{,}605551275,\\[4pt] f(4)&=\sqrt{6\cdot4-5}=\sqrt{19}\approx 4{,}358898944,\\[4pt] f(5)&=\sqrt{6\cdot5-5}=\sqrt{25}=5,\\[4pt] f(6)&=\sqrt{6\cdot6-5}=\sqrt{31}\approx 5{,}567764363,\\[4pt] f(7)&=\sqrt{6\cdot7-5}=\sqrt{37}\approx 6{,}082762530,\\[4pt] f(8)&=\sqrt{6\cdot8-5}=\sqrt{43}\approx 6{,}557438524,\\[4pt] f(9)&=\sqrt{6\cdot9-5}=\sqrt{49}=7. \end{aligned}]

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula composta do trapézio com h=1 e n=8:
T_8 = 1\left(\frac{f(1)+f(9)}{2} + \sum_{i=2}^{8} f(i)\right).
Calculemos a soma das avaliações internas:
\sum_{i=2}^{8} f(i) =\sqrt{7}+\sqrt{13}+\sqrt{19}+5+\sqrt{31}+\sqrt{37}+\sqrt{43} \approx 33{,}81816695.
E a média das extremidades:
\frac{f(1)+f(9)}{2}=\frac{1+7}{2}=4.
Portanto
T_8 = 4 + 33{,}81816695 \approx 37{,}81816695.
Então a aproximação pelo trapézio composto com 8 subintervalos é aproximadamente \,37{,}81816695.

Passo 5

É interessante calcular a integral exata para podermos ver o erro real. Faço a substituição u=6x-5, du=6\,dx, dx=\tfrac{du}{6}. Quando x=1 temos u=1 e quando x=9 temos u=49. Então
\mathrm{I}=\int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx =\frac{1}{6}\int_{1}^{49} u^{1/2}\,du =\frac{1}{6}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{49} =\frac{1}{9}\left(49^{3/2}-1^{3/2}\right).
Como 49^{1/2}=7 obtemos 49^{3/2}=7^3=343. Assim
\mathrm{I}=\frac{1}{9}(343-1)=\frac{342}{9}=38.
Portanto o valor exato é \mathrm{I}=38.

Passo 6

Calculemos o erro real da aproximação do Passo 4:
E_{\text{real}}=\mathrm{I}-T_8=38-37{,}81816695\approx 0{,}18183305.
Note que E_{\text{real}}>0, o que significa que T_8 subestima a integral. Isso é coerente com a concavidade da função (vamos ver a segunda derivada abaixo).
Calculemos a segunda derivada para usar na estimativa teórica do erro:
f(x)=(6x-5)^{1/2},\qquad f'(x)=3(6x-5)^{-1/2},
f''(x) = -9(6x-5)^{-3/2}.
Portanto |f''(x)|=9(6x-5)^{-3/2}. Esse valor é máximo em x=1 (porque o denominador cresce com x), então
M_2=\max_{x\in[1,9]}|f''(x)|=|f''(1)|=9.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula teórica do erro do trapézio composto:
|E_T|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\,M_2.
Aqui b-a=8, h=1 e M_2=9. Substituindo:
|E_T|\le \frac{8\cdot 1^2}{12}\cdot 9 = \frac{8\cdot 9}{12} = \frac{72}{12}=6.
Logo a estimativa (majorante) teórica do erro é 6. Repare que esse é um majorante conservador; o erro real que calculamos no passo anterior é muito menor ( \approx 0{,}18183305).

Passo 8

Parte (c): determinar n tal que o erro teórico seja menor que 10^{-4}.
Usamos a desigualdade
\frac{(b-a)h^2}{12}M_2<10^{-4}, \qquad h=\frac{b-a}{n}=\frac{8}{n}.
Substituindo b-a=8 e M_2=9:
\frac{8\cdot (8/n)^2}{12}\cdot 9 < 10^{-4}.
Simplificando:
\frac{8\cdot 64}{12}\cdot\frac{9}{n^2}<10^{-4} \quad\Rightarrow\quad \frac{4608}{12}\cdot\frac{1}{n^2}<10^{-4}
\Rightarrow\quad \frac{384}{n^2}<10^{-4} \quad\Rightarrow\quad n^2>\frac{384}{10^{-4}}=384\cdot 10^{4}=3{,}840{,}000.
Logo
n>\sqrt{3{,}840{,}000}\approx 1959{,}59179.
Como n deve ser inteiro, precisamos de
n\ge 1960.

Resposta

(a) T_8 \approx 37{,}81816695.
(b) Estimativa teórica do erro: |E_T|\le 6. Erro real: |\mathrm{I}-T_8|\approx 0{,}18183305.
(c) É necessário n\ge 1960 subintervalos para garantir erro <10^{-4}.

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