Dado
. Pede-se:
a. Calcular I empregando a regra dos trapézios repetida com 8 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro;
c. Quantos subintervalos devemos ter para que o erro seja menor do que
?
a. Calcular I empregando a regra dos trapézios repetida com 8 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro;
c. Quantos subintervalos devemos ter para que o erro seja menor do que
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a integral
As perguntas são:
- (a) Calcular
empregando a regra dos trapézios repetida com subintervalos. - (b) Determinar uma estimativa para o erro (do item (a)).
- (c) Determinar quantos subintervalos são necessários para que o erro seja menor que
.
Informações importantes dadas pelo enunciado que usaremos:
- Intervalo de integração:
. - Número de subintervalos para (a):
. - A função integranda é
.
Passo 2
Vou explicar a regra dos trapézios composta (repetida) de forma didática.
Se dividimos o intervalo
em
subintervalos iguais de largura
os nós são
. A fórmula composta do trapézio é
Essa fórmula vem de aproximar
por retas em cada subintervalo e somar as áreas dos trapézios formados.
Também precisamos da fórmula de estimativa do erro (limite superior) da regra dos trapézios composta. Se
tem segunda derivada contínua em
e definirmos
então o erro
satisfaz o majorante
Vou usar essa fórmula no item (b) e no (c). Agora calculamos os termos para o nosso problema.
Passo 3
Calculemos
e os nós para
:
Logo os nós são os inteiros
A função é
. Vou calcular
em cada nó (faço as contas passo a passo):
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula composta do trapézio com
e
:
Calculemos a soma das avaliações internas:
E a média das extremidades:
Portanto
Então a aproximação pelo trapézio composto com
subintervalos é aproximadamente
.
Passo 5
É interessante calcular a integral exata para podermos ver o erro real. Faço a substituição
,
,
. Quando
temos
e quando
temos
. Então
Como
obtemos
. Assim
Portanto o valor exato é
.
Passo 6
Calculemos o erro real da aproximação do Passo 4:
Note que
, o que significa que
subestima a integral. Isso é coerente com a concavidade da função (vamos ver a segunda derivada abaixo).
Calculemos a segunda derivada para usar na estimativa teórica do erro:
Portanto
. Esse valor é máximo em
(porque o denominador cresce com
), então
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula teórica do erro do trapézio composto:
Aqui
,
e
. Substituindo:
Logo a estimativa (majorante) teórica do erro é
. Repare que esse é um majorante conservador; o erro real que calculamos no passo anterior é muito menor (
).
Passo 8
Parte (c): determinar
tal que o erro teórico seja menor que
.
Usamos a desigualdade
Substituindo
e
:
Simplificando:
Logo
Como
deve ser inteiro, precisamos de
Resposta
(a)
(b) Estimativa teórica do erro: . Erro real:
(c) É necessário subintervalos para garantir erro
.
(b) Estimativa teórica do erro:
(c) É necessário