Dado \mathrm{I}=\int_{2}^{8}\left(5 x^{3}+\frac{1}{x}\right) d x. Pede-se:
a. Calcular I empregando a regra dos trapézios repetida com 6 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro;
c. Quantos subintervalos devemos ter para que o erro seja menor do que 10^{-5} ?

Passo 1

O enunciado dá a integral
\mathrm{I}=\int_{2}^{8}\left(5x^{3}+\frac{1}{x}\right)\,dx
e pede três coisas:
  1. (a) Calcular uma aproximação de \mathrm{I} usando a regra dos trapézios repetida (composta) com 6 subintervalos.
  2. (b) Determinar uma estimativa para o erro dessa aproximação (um limite teórico do erro).
  3. (c) Decidir quantos subintervalos são necessários para que o erro teórico seja menor que 10^{-5}.
Informações relevantes dadas/implícitas:
  • Intervalo de integração: [a,b]=[2,8], então b-a=6.
  • Número de subintervalos para (a): n=6.
  • A função integranda é f(x)=5x^{3}+\dfrac{1}{x}.
  • Para a regra dos trapézios composta usaremos o passo h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{6}{6}=1.

Passo 2

Explico a regra dos trapézios composta (passo a passo e didático).
A regra dos trapézios composta para n subintervalos de largura h estima a integral por
T_{n}=h\left(\frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right),
onde x_{0}=a, x_{n}=b e x_{i}=a+i h.
Aqui h=1 e os nós são x_{i}=2,3,4,5,6,7,8. Vou calcular f(x) em cada nó. Lembre-se que f(x)=5x^{3}+\dfrac{1}{x}.
Calculemos termo a termo (vou mostrar as contas):
\begin{aligned} f(2)&=5\cdot 2^{3}+\frac{1}{2}=40+\frac{1}{2}=40,5,\\[4pt] f(3)&=5\cdot 3^{3}+\frac{1}{3}=135+\frac{1}{3}=135,\overline{3}\approx 135,333333333,\\[4pt] f(4)&=5\cdot 4^{3}+\frac{1}{4}=320+\frac{1}{4}=320,25,\\[4pt] f(5)&=5\cdot 5^{3}+\frac{1}{5}=625+\frac{1}{5}=625,2,\\[4pt] f(6)&=5\cdot 6^{3}+\frac{1}{6}=1080+\frac{1}{6}=1080,166666667,\\[4pt] f(7)&=5\cdot 7^{3}+\frac{1}{7}=1715+\frac{1}{7}\approx 1715,142857143,\\[4pt] f(8)&=5\cdot 8^{3}+\frac{1}{8}=2560+\frac{1}{8}=2560,125. \end{aligned}
Agora somamos os termos interiores f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7):
f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)\approx 3876,092857143.
O termo que envolve os extremos é \dfrac{f(2)+f(8)}{2}=\dfrac{40,5+2560,125}{2}=1300,3125.
Aplicando a fórmula com h=1:
T_{6}=1\left(1300,3125+3876,092857143\right)\approx 5176,405357143.
Portanto, a aproximação pela regra dos trapézios composta com 6 subintervalos é T_{6}\approx 5176,405357143. Vou arredondar quando necessário mais à frente, mas guardo este valor para comparação.]

Passo 3

Agora vou ensinar e usar a fórmula do erro teórico da regra dos trapézios composta.
Teorema (erro do trapézio composto): se f tem segunda derivada contínua em [a,b], então existe uma constante M tal que M\ge \max_{x\in[a,b]}|f''(x)| e o erro E_{T}= \mathrm{I}-T_{n} satisfaz
|E_{T}|\le \frac{(b-a)\,h^{2}}{12}\,M.
Lembrando que h=\dfrac{b-a}{n}, essa desigualdade pode ser escrita também como
|E_{T}|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,M.
Tenho que calcular f''(x) e achar um M adequado em [2,8].
Calculemos derivadas:
f(x)=5x^{3}+\frac{1}{x},
f'(x)=15x^{2}-\frac{1}{x^{2}},
f''(x)=30x+\frac{2}{x^{3}}.
Observação importante (para justificar onde ocorre o máximo): a terceira derivada é
f^{(3)}(x)=30-\frac{6}{x^{4}}.
Em [2,8] temos \dfrac{6}{x^{4}}\le \dfrac{6}{2^{4}}=\dfrac{6}{16}=0,375, então f^{(3)}(x)\ge 30-0,375=29,625>0. Assim f''(x) é estritamente crescente em [2,8]. Portanto o máximo de f'' ocorre no extremo direito x=8.
Calcule f''(8):
f''(8)=30\cdot 8+\frac{2}{8^{3}}=240+\frac{2}{512}=240+\frac{1}{256}=240,00390625.
Usando vírgula decimal: 240,00390625. Podemos definir M=f''(8)=\dfrac{61441}{256}.
Aplicando a fórmula do erro com n=6, b-a=6, h=1:
|E_{T}|\le \frac{(b-a)h^{2}}{12}M=\frac{6\cdot 1^{2}}{12}M=\frac{1}{2}M.
Logo
|E_{T}|\le \frac{1}{2}\cdot\frac{61441}{256}=\frac{61441}{512}=120,001953125.
Usando vírgula: 120,001953125.
Esse é o limite teórico do erro para n=6. Note que é uma estimativa grosseira (mas garantida) — no nosso caso o erro real será menor que isso, como veremos em seguida.

Passo 4

Para avaliar quão boa é a aproximação e ter uma noção do erro real, calculo a integral exata (pois a função tem primitiva conhecida).
A primitiva de f é
\int \left(5x^{3}+\frac{1}{x}\right)\,dx=\frac{5}{4}x^{4}+\ln x + C.
Avalio em 2 e 8:
\mathrm{I}=\left[\frac{5}{4}x^{4}+\ln x\right]_{2}^{8}=\frac{5}{4}(8^{4}-2^{4})+\ln\frac{8}{2}.
Calcule:
8^{4}=4096,\qquad 2^{4}=16,\qquad 4096-16=4080,
\frac{5}{4}\cdot 4080=5100,\qquad \ln\frac{8}{2}=\ln 4\approx 1,3862943611.
Portanto
\mathrm{I}=5100+\ln 4\approx 5101,3862943611.
Erros:
  • Aproximação T_{6}\approx 5176,405357143 (do Passo 2).
  • Valor exato \mathrm{I}\approx 5101,3862943611.
  • Erro real E_{\text{real}}= \mathrm{I}-T_{6}\approx -75,0190627819 (em módulo \approx 75,0190627819).
Compare com o limite teórico 120,001953125: o erro real ( \approx 75,019) é menor que o limite teórico ( \approx 120,002), como deve ser.

Passo 5

Agora respondo (c): quantos subintervalos n são necessários para que o erro teórico seja menor que 10^{-5}?
Usamos a desigualdade do erro:
\frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,M < 10^{-5}.
Isolando n:
n^{2} > \frac{(b-a)^{3}M}{12\cdot 10^{-5}},
n > \sqrt{\frac{(b-a)^{3}M}{12\cdot 10^{-5}}}.
Substituindo b-a=6 e M=f''(8)=\dfrac{61441}{256}:
(b-a)^{3}=6^{3}=216,
n > \sqrt{\frac{216\cdot \dfrac{61441}{256}}{12\cdot 10^{-5}}} = \sqrt{\frac{18\cdot 61441}{256\cdot 10^{-5}}} = \sqrt{18\cdot 61441\cdot 10^{5}/256}.
Agora calculo numericamente: usando M\approx 240,00390625,
n > \sqrt{18\cdot 240,00390625\cdot 10^{5}} = \sqrt{4320,0703125\cdot 10^{5}} \approx \sqrt{432007031,25} \approx 20790,295\ldots
Portanto precisamos de n inteiro maior que isso; o menor inteiro que satisfaz é n=20791.
(Observação prática: é um número muito grande porque a estimativa do erro do trapézio depende de 1/n^{2} e a constante M é relativamente grande no intervalo; na prática para obter grande precisão convém usar regras de ordem mais alta, mas aqui pediram especificamente o trapézio.)

Resposta

(a) T_{6}\approx 5176,405357143
(b) estimativa teórica do erro: |E_{T}|\le 120,001953125
(c) mínimo n para erro <10^{-5}: n=20791

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