Dado \mathrm{I}=\int_{2}^{8}\left(5 x^{3}+\frac{1}{x}\right) d x. Pede-se:
a. Calcular I empregando a regra dos trapézios repetida com 6 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro;
c. Quantos subintervalos devemos ter para que o erro seja menor do que 10^{-5} ?
Portanto, a aproximação pela regra dos trapézios composta com 6 subintervalos é T_{6}\approx 5176,405357143. Vou arredondar quando necessário mais à frente, mas guardo este valor para comparação.]
Passo 3
Agora vou ensinar e usar a fórmula do erro teórico da regra dos trapézios composta.
Teorema (erro do trapézio composto): se f tem segunda derivada contínua em [a,b], então existe uma constante M tal que M\ge \max_{x\in[a,b]}|f''(x)| e o erro E_{T}= \mathrm{I}-T_{n} satisfaz
|E_{T}|\le \frac{(b-a)\,h^{2}}{12}\,M.
Lembrando que h=\dfrac{b-a}{n}, essa desigualdade pode ser escrita também como
|E_{T}|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,M.
Tenho que calcular f''(x) e achar um M adequado em [2,8].
Calculemos derivadas:
f(x)=5x^{3}+\frac{1}{x},
f'(x)=15x^{2}-\frac{1}{x^{2}},
f''(x)=30x+\frac{2}{x^{3}}.
Observação importante (para justificar onde ocorre o máximo): a terceira derivada é
f^{(3)}(x)=30-\frac{6}{x^{4}}.
Em [2,8] temos \dfrac{6}{x^{4}}\le \dfrac{6}{2^{4}}=\dfrac{6}{16}=0,375, então f^{(3)}(x)\ge 30-0,375=29,625>0. Assim f''(x) é estritamente crescente em [2,8]. Portanto o máximo de f'' ocorre no extremo direito x=8.
Esse é o limite teórico do erro para n=6. Note que é uma estimativa grosseira (mas garantida) — no nosso caso o erro real será menor que isso, como veremos em seguida.
Passo 4
Para avaliar quão boa é a aproximação e ter uma noção do erro real, calculo a integral exata (pois a função tem primitiva conhecida).
A primitiva de f é
\int \left(5x^{3}+\frac{1}{x}\right)\,dx=\frac{5}{4}x^{4}+\ln x + C.
Portanto precisamos de n inteiro maior que isso; o menor inteiro que satisfaz é n=20791.
(Observação prática: é um número muito grande porque a estimativa do erro do trapézio depende de 1/n^{2} e a constante M é relativamente grande no intervalo; na prática para obter grande precisão convém usar regras de ordem mais alta, mas aqui pediram especificamente o trapézio.)
Resposta
(a) T_{6}\approx 5176,405357143
(b) estimativa teórica do erro: |E_{T}|\le 120,001953125
(c) mínimo n para erro <10^{-5}: n=20791