Dado o polinômio p(x)=x^3+2 x^2+x-2, faça o que se pede:
Utilize o método de Newton para obter uma raiz aproximada de p com precição varepsilon=10^-2 e x0=1.

Passo 1

Tranquilo, o enunciado diz que temos o polinômio
p(x)=x^3+2x^2+x-2
e que a gente precisa encontrar uma raiz aproximada usando o método de Newton (ou Newton–Raphson), com chute inicial xn+1 ;=; xn ;-;p(xn)p'(xn) e precisão .
Conteúdo envolvido:
- Entender o que é derivada e como calcular .
- Saber a fórmula do método de Newton:

Pra resolver a gente vai:
1) achar ;
2) aplicar essa fórmula iterativamente até que .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada do polinômio:
p(x)=x^3 + 2x^2 + x - 2 Longrightarrow p'(x)=3x^2 + 4x + 1
Agora aplicamos Newton a partir de p(1)=1^3+2cdot1^2+1-2 = 1+2+1-2 = 2, p'(1)=3cdot1^2+4cdot1+1 = 3+4+1 = 8 :
  1. Calcula x1 = 1 - 28 = 1 - 0.25 = 0.75 e :
  1. Atualiza :

Passo 3

Agora partindo de p(0.75)=0.75^3 + 2cdot0.75^2 + 0.75 -2 = 0.421875 + 1.125 + 0.75 -2 = 0.296875, :
  1. Calcula p'(0.75)=3cdot0.75^2 + 4cdot0.75 +1 = 3cdot0.5625 +3 +1 = 1.6875 +3 +1 = 5.6875 e x2 = 0.75 - 0.2968755.6875 approx 0.75 - 0.05220 = 0.69780 :
  1. Atualiza :

Passo 4

Partindo de p(0.6978)approx0.0116, p'(0.6978)approx5.2520 :
  1. Calcula x3 = 0.69780 - 0.01165.2520 approx 0.69780 - 0.00221 = 0.69559 e |x3 - x2| = |0.69559 - 0.69780| approx 0.00221 < 0.01, :
  1. Atualiza :
  1. Critério de parada:
então paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada de boxedx approx 0.6956 obtida pelo método de Newton, com e , é

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