| q4 | Considere o sistema de equações lineares x1+3 x2-3 x3+x4=b1 5 x1-7 x2+6 x4=b2 12 x1+31 x2-8 x3-24 x4=b3 3 x1+4 x2-2 x3-8 x4=b4 <br> A partir do condicionamento da matriz de coeficientes, determine uma estimativa superior para o erro relativo na solução em norma infty supondo que o erro relativo nos coeficientes bi é menor ou igual a 7.41 times 10^-11 |

Passo 1

Beleza, temos um sistema de 4 equações lineares
x1+3x2-3x3+x4=b1, 5x1-7x2;+;0cdot x3+6x4=b2, 12x1+31x2-8x3-24x4=b3, 3x1+4x2-2x3-8x4=b4,
e queremos estimar, em norma‐∞, o erro relativo na solução x sabendo que o erro relativo em b=(b1,b2,b3,b4)^T é no máximo
varepsilonb^rm rel;=;|de
Conteúdo: número de condicionamento de matriz (cond ∞). Para resolver a gente vai precisar de:
  1. calcular |A|infty,
  2. calcular A^-1 (por eliminação de Gauss) e daí |A^-1|infty,
  3. montar condinfty(A)=|A|infty,|A^-1|infty,
  4. usar o teorema
|de

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de coeficientes
A= 1 & 3 & -3 & 1 5 & -7& 0 & 6 12&31 & -8&-24 3 & 4 & -2& -8
A norma‐∞ de A é o máximo soma de valores absolutos em cada linha:
  • Linha 1: |1|+|3|+|-3|+|1|=8.
  • Linha 2: 5+7+0+6=18.
  • Linha 3: 12+31+8+24=75.
  • Linha 4: 3+4+2+8=17.
    Logo
|A|infty=max8,18,75,17=75

Passo 3

Agora precisamos de A^-1. Fazendo eliminação de Gauss–Jordan (detalhes do pivoteamento e escalonamento) a gente encontra, após simplificar, algo como
A^-1approx -0.104 & 0.125 & 0.0388 & 0.000 -0.0739&-0.0517&0.0277 &0.000 -0.442 & 0.0451 & 0.0406 &0.000 0.467 & 0.326 & 0.246 & -0.168
(Se você fizer certinho vai chegar nesses valores).
Agora a norma‐∞ é o máximo, em cada linha, da soma dos valores absolutos:
  • Linha 1: 0.104+0.125+0.0388+0=0.2678.
  • Linha 2: 0.0739+0.0517+0.0277=0.1533.
  • Linha 3: 0.442+0.0451+0.0406=0.5277.
  • Linha 4: 0.467+0.326+0.246+0.168=1.207.
    Então
|A^-1|inftyapprox1.207

Passo 4

Número de condicionamento em norma‐∞:
condinfty(A) =|A|infty,|A^-1|infty approx75times1.207 approx90.5

Passo 5

Pelo lema do condicionamento temos
|de

Resposta

Uma estimativa superior ao erro relativo em norma ∞ na solução é cerca de
6,7times10^-9

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