E9: Dado o polinômio:
e sabendo-se que existe uma raiz no intervalo
, encontre essa raiz usando o método de Birge-Vieta com
e precisão
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a raiz de
que sabemos existir no intervalo
, usando o método de Birge-Vieta com chute inicial
e precisão
.
Dados fornecidos (vou listar os coeficientes do polinômio):
Goal claro: aplicar Birge–Vieta a partir de
e iterar até que
.
Passo 2
O que é o método de Birge–Vieta (explicação didática, passo a passo):
- É uma forma eficiente de calcular uma raiz de um polinômio usando a ideia de Horner/Sintético e uma versão do passo de Newton. Para cada iteração com um palpite
fazemos duas passagens “Horner-like” que geram vetores e . - O vetor
dá o valor do polinômio em ; o último termo é exatamente . - O vetor
é construído a partir dos e dá, no elemento , o valor aproximado de . - Fórmulas (para grau
com coeficientes ) — tudo em Horner descendente:
- Regra de atualização (tipo Newton, mas usando
e ):
- Critério de parada que usaremos: parar quando
com . (Também se desejar pode checar pequeno, mas usaremos a diferença das aproximações.)
Agora aplicamos isso numericamente começando em
. Vou mostrar todos os
e
a cada iteração para você poder repetir na prova.
Passo 3
Iteração 0:
.
Calcular o vetor
:
Portanto
.
Agora o vetor
:
Logo
.
Atualização:
Diferença
. Continuamos.]
Passo 4
Iteração 1:
.
Calcular
em
(vou mostrar os resultados numéricos obtidos passo a passo):
Assim
(repare que o sinal mudou, estávamos em negativo em
, agora positivo — bom sinal para ter uma raiz entre eles).
Agora
:
Atualização:
Diferença
. Ainda não atingimos a precisão; continuamos.]
Passo 5
Iteração 2:
.
Calcular
em
(cálculos com maior precisão numérica):
Portanto
.
Agora o vetor
:
Atualização:
Diferença
. A condição de parada foi satisfeita.]
Passo 6
Interpretação final e incentivo rápido: conseguimos convergir em três iterações a partir de
. O valor final atende ao critério pedido
. Dá pra ver claramente como se fazem os vetores
e
a cada iteração — na prova, escreva exatamente essas somas e produtos do Horner, calcule
e
e aplique a fórmula
. Você conseguiu — tá quase lá!