E9: Dado o polinômio:
p(x)=x^{5}-3.7 x^{4}+7.4 x^{3}-10.8 x^{2}+10.8 x-6.8
e sabendo-se que existe uma raiz no intervalo [1,2], encontre essa raiz usando o método de Birge-Vieta com x_{0}=1.5 e precisão \varepsilon \leq 0.02

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a raiz de p(x)=x^{5}-3,7x^{4}+7,4x^{3}-10,8x^{2}+10,8x-6,8 que sabemos existir no intervalo [1,2], usando o método de Birge-Vieta com chute inicial x_{0}=1,5 e precisão \varepsilon\leq0,02.
Dados fornecidos (vou listar os coeficientes do polinômio):
a_{5}=1,\quad a_{4}=-3,7,\quad a_{3}=7,4,\quad a_{2}=-10,8,\quad a_{1}=10,8,\quad a_{0}=-6,8.
Goal claro: aplicar Birge–Vieta a partir de x_{0}=1,5 e iterar até que |x_{k+1}-x_{k}|\leq0,02.

Passo 2

O que é o método de Birge–Vieta (explicação didática, passo a passo):
  • É uma forma eficiente de calcular uma raiz de um polinômio usando a ideia de Horner/Sintético e uma versão do passo de Newton. Para cada iteração com um palpite x_{k} fazemos duas passagens “Horner-like” que geram vetores b e c.
  • O vetor b dá o valor do polinômio em x_{k}; o último termo b_{0} é exatamente p(x_{k}).
  • O vetor c é construído a partir dos b e dá, no elemento c_{1}, o valor aproximado de p'(x_{k}).
  • Fórmulas (para grau 5 com coeficientes a_{5},\dots,a_{0}) — tudo em Horner descendente:
\begin{aligned} b_{5}&=a_{5},\\\ b_{4}&=a_{4}+x_{k}b_{5},\\\ b_{3}&=a_{3}+x_{k}b_{4},\\\ b_{2}&=a_{2}+x_{k}b_{3},\\\ b_{1}&=a_{1}+x_{k}b_{2},\\\ b_{0}&=a_{0}+x_{k}b_{1}\quad(\text{aqui }b_{0}=p(x_{k})). \end{aligned}
\begin{aligned} c_{5}&=b_{5},\\\ c_{4}&=b_{4}+x_{k}c_{5},\\\ c_{3}&=b_{3}+x_{k}c_{4},\\\ c_{2}&=b_{2}+x_{k}c_{3},\\\ c_{1}&=b_{1}+x_{k}c_{2}\quad(\text{aqui }c_{1}=p'(x_{k})). \end{aligned}
  • Regra de atualização (tipo Newton, mas usando b e c):
x_{k+1}=x_{k}-\frac{b_{0}}{c_{1}}.
  • Critério de parada que usaremos: parar quando |x_{k+1}-x_{k}|\leq\varepsilon com \varepsilon=0,02. (Também se desejar pode checar |p(x_{k})| pequeno, mas usaremos a diferença das aproximações.)
Agora aplicamos isso numericamente começando em x_{0}=1,5. Vou mostrar todos os b e c a cada iteração para você poder repetir na prova.

Passo 3

Iteração 0: x_{0}=1,5.
Calcular o vetor b:
\begin{aligned} b_{5}&=a_{5}=1,\\[4pt] b_{4}&=a_{4}+x_{0}b_{5}=-3,7+(1,5)\cdot1=-2,2,\\[4pt] b_{3}&=a_{3}+x_{0}b_{4}=7,4+(1,5)(-2,2)=7,4-3,3=4,1,\\[4pt] b_{2}&=a_{2}+x_{0}b_{3}=-10,8+(1,5)(4,1)=-10,8+6,15=-4,65,\\[4pt] b_{1}&=a_{1}+x_{0}b_{2}=10,8+(1,5)(-4,65)=10,8-6,975=3,825,\\[4pt] b_{0}&=a_{0}+x_{0}b_{1}=-6,8+(1,5)(3,825)=-6,8+5,7375=-1,0625. \end{aligned}
Portanto b_{0}=p(x_{0})=-1,0625.
Agora o vetor c:
\begin{aligned} c_{5}&=b_{5}=1,\\[4pt] c_{4}&=b_{4}+x_{0}c_{5}=-2,2+(1,5)\cdot1=-0,7,\\[4pt] c_{3}&=b_{3}+x_{0}c_{4}=4,1+(1,5)(-0,7)=4,1-1,05=3,05,\\[4pt] c_{2}&=b_{2}+x_{0}c_{3}=-4,65+(1,5)(3,05)=-4,65+4,575=-0,075,\\[4pt] c_{1}&=b_{1}+x_{0}c_{2}=3,825+(1,5)(-0,075)=3,825-0,1125=3,7125. \end{aligned}
Logo c_{1}=p'(x_{0})\approx3,7125.
Atualização:
x_{1}=x_{0}-\frac{b_{0}}{c_{1}}=1,5-\frac{-1,0625}{3,7125}=1,5+0,286196\approx1,786196.
Diferença |x_{1}-x_{0}|=0,286196>0,02. Continuamos.]

Passo 4

Iteração 1: x_{1}\approx1,786196.
Calcular b em x_{1} (vou mostrar os resultados numéricos obtidos passo a passo):
\begin{aligned} b_{5}&=1,\\[4pt] b_{4}&=-3,7+(1,786196)(1)=-1,913804,\\[4pt] b_{3}&=7,4+(1,786196)(-1,913804)=3,98157088,\\[4pt] b_{2}&=-10,8+(1,786196)(3,98157088)=-3,68813412,\\[4pt] b_{1}&=10,8+(1,786196)(-3,68813412)=4,21227088,\\[4pt] b_{0}&=-6,8+(1,786196)(4,21227088)=0,72394088. \end{aligned}
Assim p(x_{1})=b_{0}\approx0,72394088 (repare que o sinal mudou, estávamos em negativo em x_{0}, agora positivo — bom sinal para ter uma raiz entre eles).
Agora c:
\begin{aligned} c_{5}&=1,\\[4pt] c_{4}&=-1,913804+(1,786196)\cdot1=-0,127608,\\[4pt] c_{3}&=3,98157088+(1,786196)(-0,127608)=3,75365128,\\[4pt] c_{2}&=-3,68813412+(1,786196)(3,75365128)=3,016622,\\[4pt] c_{1}&=4,21227088+(1,786196)(3,016622)=9,60054888. \end{aligned}
Atualização:
x_{2}=x_{1}-\frac{b_{0}}{c_{1}}=1,786196-\frac{0,72394088}{9,60054888}\approx1,786196-0,075408\approx1,710788.
Diferença |x_{2}-x_{1}|=0,075408>0,02. Ainda não atingimos a precisão; continuamos.]

Passo 5

Iteração 2: x_{2}\approx1,710788.
Calcular b em x_{2} (cálculos com maior precisão numérica):
\begin{aligned} b_{5}&=1,\\[4pt] b_{4}&=-3,7+(1,710788)=-1,989212,\\[4pt] b_{3}&=7,4+(1,710788)(-1,989212)=3,99688028,\\[4pt] b_{2}&=-10,8+(1,710788)(3,99688028)=-3,96218518,\\[4pt] b_{1}&=10,8+(1,710788)(-3,96218518)=4,02154114028,\\[4pt] b_{0}&=-6,8+(1,710788)(4,02154114028)=0,08000432429734. \end{aligned}
Portanto p(x_{2})\approx0,0800043243.
Agora o vetor c:
\begin{aligned} c_{5}&=1,\\[4pt] c_{4}&=-1,989212+(1,710788)\cdot1=-0,278424,\\[4pt] c_{3}&=3,99688028+(1,710788)(-0,278424)=3,520555841888,\\[4pt] c_{2}&=-3,96218518+(1,710788)(3,520555841888)=2,06073950763189,\\[4pt] c_{1}&=4,02154114028+(1,710788)(2,06073950763189)=7,547029561062545. \end{aligned}
Atualização:
x_{3}=x_{2}-\frac{b_{0}}{c_{1}}=1,710788-\frac{0,08000432429734}{7,547029561062545}\approx1,710788-0,010595\approx1,700193.
Diferença |x_{3}-x_{2}|\approx0,010595\leq0,02. A condição de parada foi satisfeita.]

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido: conseguimos convergir em três iterações a partir de x_{0}=1,5. O valor final atende ao critério pedido \varepsilon\leq0,02. Dá pra ver claramente como se fazem os vetores b e c a cada iteração — na prova, escreva exatamente essas somas e produtos do Horner, calcule b_{0} e c_{1} e aplique a fórmula x_{k+1}=x_{k}-b_{0}/c_{1}. Você conseguiu — tá quase lá!

Resposta

\,1,70019

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