Calcule :
a) Utilizando o método de Euler com ;
b) Utilizando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com ;
c) Utilizando o método de Runge-Kutta de terceira ordem com ;
d) Utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com ;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem o PVI
e quer aproximar usando quatro métodos numéricos diferentes:
a) Euler explícito com passo ,
b) Runge–Kutta de 2ª ordem com ,
c) Runge–Kutta de 3ª ordem com ,
d) Runge–Kutta de 4ª ordem com .
O conteúdo é métodos de passo único para EDOs. Vamos precisar saber:
Fórmula do Euler: .
Fórmula de RK2 (método do ponto médio ou Heun modificado).
Fórmula de RK3 (o esquema 3 estágios clássico).
Fórmula de RK4 (clássico de 4 estágios).
A partir do
Passo 2
Passo 3
Método de Euler explícito ().
A cada passo:
Tabela de iterações (até chegar em , ou seja, 5 passos):
n
0
0.0
1.00000
1
0.2
0.80000
2
0.4
0.71200
3
0.6
0.69080
4
0.8
0.71536
Logo, pelo método de Euler.
Passo 4
Runge–Kutta de 2ª ordem (método do ponto médio modificado) com .
Fórmulas básicas:
Iterando até (5 passos):
n
0
0.0
1.00000
1
0.2
0.85600
2
0.4
0.78656
3
0.6
0.76942
4
0.8
0.79077
Logo, pelo RK2.
Passo 5
Runge–Kutta de 3ª ordem com k1 = f(xn,yn), k2 = f!l(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k1r), k3 = f!l(xn+h,,yn - h,k1 + 2h,k2r), yn+1 = yn + tfrach6l(k1 + 4,k2 + k3r) .
Usamos o esquema clássico de 3 estágios: