Dado o problema de valor inicial (PVI):
l y^prime=x-y^2 y(0)=1
Calcule y(1) :
a) Utilizando o método de Euler com h=0.2;
b) Utilizando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com h=0.2;
c) Utilizando o método de Runge-Kutta de terceira ordem com h=0.5;
d) Utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com h=0.5;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem o PVI
y' = x - y^2, y(0)=1,
e quer aproximar usando quatro métodos numéricos diferentes:
a) Euler explícito com passo ,
b) Runge–Kutta de 2ª ordem com ,
c) Runge–Kutta de 3ª ordem com ,
d) Runge–Kutta de 4ª ordem com .
O conteúdo é métodos de passo único para EDOs. Vamos precisar saber:
  • Fórmula do Euler: .
  • Fórmula de RK2 (método do ponto médio ou Heun modificado).
  • Fórmula de RK3 (o esquema 3 estágios clássico).
  • Fórmula de RK4 (clássico de 4 estágios).
A partir do

Passo 2

Passo 3

Método de Euler explícito ( yn+1 = yn + 0.2;f(xn,yn), f(x,y)=x - y^2, xn+1=xn+0.2 ).
A cada passo:
Tabela de iterações (até chegar em , ou seja, 5 passos):
n
0 0.0 1.00000
1 0.2 0.80000
2 0.4 0.71200
3 0.6 0.69080
4 0.8 0.71536
Logo, pelo método de Euler.

Passo 4

Runge–Kutta de 2ª ordem (método do ponto médio modificado) com k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn+h,;yn + h,k1r), yn+1 = yn + tfrach2(k1 + k2), xn+1=xn+h .
Fórmulas básicas:
Iterando até (5 passos):
n
0 0.0 1.00000
1 0.2 0.85600
2 0.4 0.78656
3 0.6 0.76942
4 0.8 0.79077
Logo, pelo RK2.

Passo 5

Runge–Kutta de 3ª ordem com k1 = f(xn,yn), k2 = f!l(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k1r), k3 = f!l(xn+h,,yn - h,k1 + 2h,k2r), yn+1 = yn + tfrach6l(k1 + 4,k2 + k3r) .
Usamos o esquema clássico de 3 estágios:
Dois passos (0→0.5 e 0.5→1.0):
Passo 1 (de 0 a 0.5):
k₁ = f(0,1)=−1
k₂ = f(0.25,1+0.25·(−1)) = f(0.25,0.75)=0.25−0.75²=−0.3125
k₃ = f(0.5,1−0.5·(−1)+2·0.5·(−0.3125))
  = f(0.5,1.1875)=0.5−1.1875²=−0.91016
y₁ = 1 + (0.5/6)(−1 +4·(−0.3125)+ (−0.91016)) ≈0.73665
Passo 2 (de 0.5 a 1.0):
k₁ = f(0.5,0.73665)≈−0.04266
k₂ = f(0.75,0.73665+0.25·(−0.04266))≈0.22296
k₃ = f(1.0,0.73665−0.5·(−0.04266)+2·0.5·0.22296)≈0.03775
y₂=0.73665+(0.5/6)(−0.04266+4·0.22296+0.03775)≈0.81057
Logo, pelo RK3.

Passo 6

Runge–Kutta de 4ª ordem com k1 = f(xn,yn), k2 = f!l(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k1r), k3 = f!l(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k2r), k4 = f(xn+h,,yn + h,k3), yn+1 = yn + tfrach6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) .
Esquema clássico de 4 estágios:
De novo dois passos:
Passo 1 (0→0.5):
k₁ = f(0,1)=−1
k₂ = f(0.25,1−0.25)=f(0.25,0.75)=−0.3125
k₃ = f(0.25,1+0.5·(−0.3125)/2)=f(0.25,0.921875)=−0.60034
k₄ = f(0.5,1+0.5·(−0.60034))=f(0.5,0.69983)=0.01024
y₁ = 1+ (0.5/6)(−1 +2·(−0.3125)+2·(−0.60034)+0.01024) ≈0.76538
Passo 2 (0.5→1.0):
k₁ = f(0.5,0.76538)=−0.08580
k₂ = f(0.75,0.76538−0.02145)=f(0.75,0.74393)=0.19657
k₃ = f(0.75,0.76538+0.04914)=f(0.75,0.81452)=0.08653
k₄ = f(1.0,0.76538+0.5·0.08653)=f(1.0,0.80865)=0.34600
y₂ = 0.76538 + (0.5/6)(−0.0858+2·0.19657+2·0.08653+0.346) ≈0.83425
Logo, pelo RK4.

Resposta

Aproximações de :
a) Euler ( ) → 0.77300
b) RK2 ( ) → 0.84006
c) RK3 ( ) → 0.81057
d) RK4 ( ) → 0.83425

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