Encontre:
a) O polinômio de Newton que interpola a função f(x)=ln (x) nos pontos x0=1, x1=2 e x2=3.
b) A forma simplificada do polinômio em potências de x.
c) O limitante de erro para este intervalo.

TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS

Calcule uma aproximação numérica para as seguintes integrais utilizando os métodos solicitados.
a) integral0^1 e^-x^2 d x utilizando o método do trapézio com m=10;
b) integral0^1 e^-x^2 d x utilizando o método de Simpson com m=6;
c) integral0^pi f(x) d x, onde f(x)=sen xx, x neq 0 e f(x)=1, x=0, utilizando o método do trapézio com m=10.
d) Mesma integral de ©, utilizando o método de Simpson com m=6;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o polinômio de Newton de grau 2 que interpola x0=1, x1=2, x2=3, nos pontos
depois reescrever esse polinômio em potências de e por fim dar um limitante pro erro no intervalo . Vamos precisar de diferenças divididas para construir o polinômio de Newton e da fórmula do resto de Taylor para interpolação pra estimar o erro.

Passo 2

Primeiro montamos a tabela de diferenças divididas:
f[x0]&=f(1)=ln1=0, f[x1]&=f(2)=ln2, f[x2]&=f(3)=ln3
Agora as diferenças de primeira ordem:
f[x0,x1]&=f(2)-f(1)2-1 =ln2-01=ln2, f[x1,x2]&=f(3)-f(2)3-2 =ln3-ln21=ln32
Finalmente a diferença dividida de segunda ordem:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]3-1 =ln32-ln22 =ln(3/2)-ln22 =ln!l(tfrac34r)2
Logo o polinômio de Newton é
P2(x) = f[x0] +f[x0,x1],(x-1) +f[x0,x1,x2],(x-1)(x-2),
ou seja
boxed% P2(x) =ln2,(x-1) +ln!l(tfrac34r)2,(x-1)(x-2)

Passo 3

Agora expandimos em potências de P2(x) &=ln2,(x-1) +ln(3/4)2l(x^2-3x+2r) &=ln2,x-ln2 +ln(3/4)2,x^2 -3ln(3/4)2,x +ln(3/4) .
boxed% P2(x) =l(tfrac12lntfrac34r)x^2 +l(ln2-tfrac32lntfrac34r)x +l(lntfrac34-ln2r)
Agrupando,

Passo 4

O resto da interpolação (fórmula de Lagrange/Taylor) é
R2(x) =f^(3)(xi)3!(x-1)(x-2)(x-3),
com algum f^(3)(x)=2x^3, . Como |R2(x)|<= 26,l| (x-1)(x-2)(x-3)r| =13,l| (x-1)(x-2)(x-3)r|
max =2raiz39approx0,385,
que atinge máximo em boxed% |R2(x)|<= 13cdot2raiz39 =2raiz327approx0,1283 , ou seja . Assim
O valor máximo de em é
ocorrendo em . Portanto

Resposta

a)
b)
c)

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