Resolva o sistema abaixo, calcule alpha e beta e comente sobre a convergência dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel quando aplicados a este sistema.
3 x1+x3 & =3 x1-x2 & =1 3 x1+x2+2 x3 & =9

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente resolva um sistema de três equações lineares, calcule dois parâmetros (α e β) que são as “taxas de convergência” dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel, e por fim diga se cada método converge ou não.
Conteúdo: sistemas lineares e métodos iterativos.
O que vamos usar:
  1. Substituição para achar diretamente .
  2. Montar a matriz e as iterações
    • Jacobi:
    • Gauss-Seidel:
  3. Calcular o raio espectral (maior valor absoluto dos autovalores) para Jacobi ( ) e Gauss-Seidel ( ).

Passo 2

Primeiro, resolvemos o sistema por substituição:
3x1 + x3 = 3 x1 - x2 = 1 3x1 + x2 + 2x3 = 9
Da segunda equação:
x2 = x1 - 1
Da primeira:
x3 = 3 - 3x1
Substituindo na terceira:
3x1 + (x1 - 1) + 2(3 - 3x1) = 9 ;Longrightarrow; 3x1 + x1 - 1 + 6 - 6x1 = 9 ;Longrightarrow; -2x1 + 5 = 9 ;Longrightarrow; x1 = -2
Então
x2 = -2 - 1 = -3, x3 = 3 - 3(-2) = 3 + 6 = 9

Passo 3

Agora montamos a matriz A = 3 & 0 & 1 1 & -1 & 0 3 & 1 & 2 , D = diag(3,-1,2), e separamos em L = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 , U = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 :
TJ = -D^-1(L+U)
TJ = 0 & 0 & -tfrac13 1 & 0 & 0 -tfrac32 & -tfrac12 & 0
Método de Jacobi:
det(TJ - lambda I)=0 ;Longrightarrow; 6lambda^3 -3lambda -1 = 0,
Como alpha approx 0,84 , dá
O raio espectral é a maior raiz em valor absoluto da equação característica
cuja solução principal numérica é

Passo 4

Método de Gauss-Seidel:
TGS = -(D+L)^-1U
Resolvendo TGS = 0 & 0 & -tfrac13 0 & 0 & -tfrac13 0 & 0 & tfrac23 ou fazendo o cálculo direto, obtemos
beta = rho(TGS) = tfrac23 approx 0,67
Os autovalores são , então
Como e , ambos os métodos convergem. Além disso, , então Gauss-Seidel converge mais rápido que Jacobi.

Resposta

Solução exata do sistema:
(x1,x2,x3)=(-2,-3,9)
Raio espectral de Jacobi: .
Raio espectral de Gauss-Seidel: .
Conclusão: os dois métodos convergem (pois e ), e Gauss-Seidel é o mais rápido.

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