Calcule uma aproximação numérica para as seguintes integrais utilizando os métodos solicitados e informe o erro cometido comparando com o resultado exato da integral.
a) integral0^1 x^2 e^-x d x utilizando o método do trapézio com m=4;
b) integral0^1 x^2 e^-x d x utilizando o método de Simpson com m=4;
c) integral0^2 x^2 e^-x d x utilizando o método do trapézio com m=4;
d) integral0^2 x^2 e^-x d x utilizando o método de Simpson com m=4;
e) Explique por que razão o erro no item (d) foi maior do que o erro no item ©.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente aproximar numericamente
integral0^1 x^2e^-x,dx e integral0^2 x^2e^-x,dx
usando o método do trapézio e o de Simpson com Tm = hl(tfracf(x0)+f(xm)2+sumi=1^m-1f(xi)r), h=b-am , e depois comparar com o valor exato (feito por integração por partes). Vamos precisar:
  1. a fórmula do trapézio:
Sm = h3l(f(x0)+f(xm)+4sumsubstacki=1i ímpar^m-1f(xi) +2sumsubstacki=2i par^m-2f(xi)r)
  1. a fórmula de Simpson:
integral x^2e^-xdx = -e^-x(x^2+2x+2)+C ;Longrightarrow; integral0^L x^2e^-xdx = 2- (L^2+2L+2)e^-L í
  1. o valor exato via integração por partes:

Passo 2

Item (a): trapézio em T4 =0.25l(tfrac0+0.367879442+0.04867505+0.15163266+0.26572870r) ≈0.162494 com .
  • .
  • Pontos e valores :
    x0=0⇒f0=0
    x1=0.25⇒f1=0.0625e^{-0.25}≈0.04867505
    x2=0.5⇒f2=0.25e^{-0.5}≈0.15163266
    x3=0.75⇒f3=0.5625e^{-0.75}≈0.26572870
    x4=1⇒f4=1·e^{-1}≈0.36787944
  • Aplicando
  • Valor exato em : .
  • Erro: .

Passo 3

Item (b): Simpson em S4 =0.253l(f0+f4+4(f1+f3)+2f2r) ≈tfrac0.253l(0+0.36787944+4(0.04867505+0.26572870)+2·0.15163266r) ≈0.160730 com .
  • Mesmo e os mesmos .
  • Fórmula de Simpson:
  • Erro: .

Passo 4

Item ©: trapézio em T4 =0.5l(tfrac0+0.541341122+0.15163266+0.36787944+0.50154285r) ≈0.645863 com .
  • .
  • Pontos e :
    x0=0⇒0
    x1=0.5⇒0.15163266
    x2=1⇒0.36787944
    x3=1.5⇒2.25e^{-1.5}≈0.50154285
    x4=2⇒4e^{-2}≈0.54134112
  • Valor exato em : .
  • Erro: .

Passo 5

Item (d): Simpson em S4 =0.53l(f0+f4+4(f1+f3)+2f2r) ≈tfrac0.53l(0+0.54134112+4(0.15163266+0.50154285)+2·0.36787944r) ≈0.648300 com .
  • Mesmo e mesmos .
  • Erro: .

Passo 6

Item (e): por que o erro em (d) é maior que em ©?
Simpson é ordem e trapezoide é , mas em (d) o passo é maior que em © (mesmo , mas intervalo duas vezes maior) e a derivada quarta de em cresce, elevando o coeficiente do erro. Ou seja, apesar de Simpson ter ordem alta, o tamanho de passo maior e o comportamento da função aumentam o erro absoluto.

Resposta

a) , erro≈0.001891
b) , erro≈0.000127
c) , erro≈0.000784
d) , erro≈0.001653
e) Em (d) o passo maior ( ) e a maior variação da derivada quarta em elevaram o erro, apesar da ordem de Simpson.

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