Calcule uma aproximação numérica para as seguintes integrais utilizando os métodos solicitados e informe o erro cometido comparando com o resultado exato da integral.
a)
utilizando o método do trapézio com
;
b)
utilizando o método de Simpson com
;
c)
utilizando o método do trapézio com
;
d)
utilizando o método de Simpson com
;
e) Explique por que razão o erro no item (d) foi maior do que o erro no item ©.
a)
b)
c)
d)
e) Explique por que razão o erro no item (d) foi maior do que o erro no item ©.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente aproximar numericamente
usando o método do trapézio e o de Simpson com
, e depois comparar com o valor exato (feito por integração por partes). Vamos precisar:
- a fórmula do trapézio:
- a fórmula de Simpson:
- o valor exato via integração por partes:
Passo 2
Item (a): trapézio em
com
.
-
. - Pontos e valores
:
x0=0⇒f0=0
x1=0.25⇒f1=0.0625e^{-0.25}≈0.04867505
x2=0.5⇒f2=0.25e^{-0.5}≈0.15163266
x3=0.75⇒f3=0.5625e^{-0.75}≈0.26572870
x4=1⇒f4=1·e^{-1}≈0.36787944 - Aplicando
- Valor exato em
: . - Erro:
.
Passo 3
Item (b): Simpson em
com
.
- Mesmo
e os mesmos . - Fórmula de Simpson:
- Erro:
.
Passo 4
Item ©: trapézio em
com
.
-
. - Pontos e
:
x0=0⇒0
x1=0.5⇒0.15163266
x2=1⇒0.36787944
x3=1.5⇒2.25e^{-1.5}≈0.50154285
x4=2⇒4e^{-2}≈0.54134112 -
- Valor exato em
: . - Erro:
.
Passo 5
Item (d): Simpson em
com
.
- Mesmo
e mesmos . -
- Erro:
.
Passo 6
Item (e): por que o erro em (d) é maior que em ©?
Simpson é ordem e trapezoide é
, mas em (d) o passo
é maior que em © (mesmo
, mas intervalo duas vezes maior) e a derivada quarta de
em
cresce, elevando o coeficiente do erro. Ou seja, apesar de Simpson ter ordem alta, o tamanho de passo maior e o comportamento da função aumentam o erro absoluto.
Simpson é ordem
Resposta
a)
, erro≈0.001891
b) , erro≈0.000127
c) , erro≈0.000784
d) , erro≈0.001653
e) Em (d) o passo maior ( ) e a maior variação da derivada quarta em
elevaram o erro, apesar da ordem
de Simpson.
b)
c)
d)
e) Em (d) o passo maior (