Dado o PVI abaixo
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=f(x, y) \\\ y\left(x_{0}\right)=y_{0}\end{array}\right.
mostre como o método de Euler nos dá uma aproximação para y\left(x_{0}+h\right). Para isso, faça a construção geométrica do método, explicando passo-a-passo cada etapa da construção.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
\begin{cases} y' = f(x,y),\\\ y(x_{0}) = y_{0}, \end{cases}
e pede uma aproximação de y(x_{0}+h) pelo método de Euler. Vamos usar a ideia de aproximação linear (reta tangente) na vizinhança de \bigl(x_{0},y_{0}\bigr).

Passo 2

Geometricamente, em (x_{0},y_{0}) a curva solução tem inclinação
y'|_{(x_{0},y_{0})} \;=\; f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr).
Ou seja, neste ponto a reta tangente à solução faz um ângulo cuja tangente é f(x_{0},y_{0}). Vamos desenhar essa reta como aproximação local da curva real.

Passo 3

A equação da reta tangente em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) é a aproximação linear
L(x) = y_{0} \;+\; f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr)\,(x - x_{0}).
Essa reta serve para estimar valores de y(x) próximos a x_{0}.

Passo 4

Para obter a aproximação em x_{1} = x_{0}+h, avaliamos
y_{1} \;\approx\; L(x_{0}+h) \;=\; y_{0} \;+\; f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr)\,h.
Geom.: saímos de x_{0} indo h à direita e subimos h\,f(x_{0},y_{0}) pela reta tangente.

Passo 5

Essa construção dá a fórmula de Euler explícito para o próximo ponto:
y_{1} = y_{0} + h\,f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr).
O erro nesta etapa é da ordem de O(h^{2}) localmente, pois a solução exata é curva, não reta.

Resposta

y(x_{0}+h)\;\approx\;y_{0} \;+\;h\,f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr).

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