Dado o PVI abaixo
mostre como o método de Euler nos dá uma aproximação para
. Para isso, faça a construção geométrica do método, explicando passo-a-passo cada etapa da construção.
mostre como o método de Euler nos dá uma aproximação para
Passo 1
O enunciado apresenta o PVI
e pede uma aproximação de
pelo método de Euler. Vamos usar a ideia de aproximação linear (reta tangente) na vizinhança de
.
Passo 2
Geometricamente, em
a curva solução tem inclinação
Ou seja, neste ponto a reta tangente à solução faz um ângulo cuja tangente é
. Vamos desenhar essa reta como aproximação local da curva real.
Passo 3
A equação da reta tangente em
é a aproximação linear
Essa reta serve para estimar valores de
próximos a
.
Passo 4
Para obter a aproximação em
, avaliamos
Geom.: saímos de
indo
à direita e subimos
pela reta tangente.
Passo 5
Essa construção dá a fórmula de Euler explícito para o próximo ponto:
O erro nesta etapa é da ordem de
localmente, pois a solução exata é curva, não reta.