Resolva pelo método das diferenças finitas:
usando
.
Passo 1
O problema é um problema de contorno não–linear em
dado por
e queremos aproximar
em nós igualmente espaçados com passo
usando diferenças finitas e resolver o sistema resultante por Newton.
Passo 2
Discretizamos o intervalo em
subintervalos de comprimento
. Assim
para
. As incógnitas são
com
e
dados. Ficam
incógnitas internas
.
Passo 3
Aproximamos a segunda derivada em
por
e impomos a equação diferencial em cada nó interno
:
Passo 4
Reescrevendo tudo numa função
para cada
:
com
e
. Esse é um sistema não–linear de
equações e
incógnitas.
Passo 5
Para resolver o sistema não–linear usamos o método de Newton. Escrevemos
e
. A cada iteração
resolvemos
onde
é a matriz Jacobiana de
.
Passo 6
Os elementos não nulos de
são, para
:
Isso faz
uma matriz tridiagonal, que podemos fatorar eficientemente em cada iteração.
Passo 7
Esquema completo da iteração de Newton:
- Escolher chute inicial
, por exemplo a interpolação linear
. - Calcular
e montar . - Resolver o sistema tridiagonal
por eliminação de Thomas. - Atualizar
. - Repetir até
ser menor que a tolerância desejada.
Resposta
O método de diferenças finitas leva ao sistema não–linear
com
,
. Resolve-se esse sistema por Newton, usando a Jacobiana tridiagonal
e iterando até convergência. As soluções
aproximam
.